| 研究課題/領域番号 |
14340009
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 東京大学 (2004-2005)
名古屋大学 (2002-2003) |
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研究代表者 |
斎藤 秀司 (齋藤 秀司) 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50153804)
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| 研究分担者 |
斎藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70201506)
桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
宮岡 洋一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50101077)
金銅 誠之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (50186847)
松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (60192754)
藤原 一宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
佐藤 周友 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50324398)
斎藤 博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (80135293)
小林 亮一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20162034)
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| 研究期間 (年度) |
2002 – 2005
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| 研究課題ステータス |
完了 (2005年度)
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| 配分額 *注記 |
9,900千円 (直接経費: 9,900千円)
2005年度: 2,400千円 (直接経費: 2,400千円)
2004年度: 2,400千円 (直接経費: 2,400千円)
2003年度: 2,400千円 (直接経費: 2,400千円)
2002年度: 2,700千円 (直接経費: 2,700千円)
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| キーワード | モチフィックコホモロジー / 有限性予想 / 加藤予想 / 特異点解消 / 代数的サイクル / 高次元類体論 / p進Hodge理論 / Chow群の有限性 / 高次Abel-Jacobi写像 / 高次Chow群 / Chow群 / 混合モチーフ / Hodge理論 / P進Hodge理論 / Bloch-加藤予想 / Beilinson予想 / P進ホッヂ理論 / ホッヂ理論 / 高次アーベルヤコビ写像 / ベイリンソン予想 / 高次チャウ群 |
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| 研究概要 |
モチフィックコホモロジーとは、代数体の整数環のイデアル類群や単数群、代数多様体のChow群などを一般化したもで、数論的多様体の$L-$関数とも密接に関連する重要な研究対象である。これにたいする重要な未解決問題として数論的多様体のモチフィックコホモロジーの有限性予想がる。これは、代数体のイデアル類群が有限であること、あるいは代数体の整数環の単数群が有限生成であるという古典的な基本定理の高次元版である。この予想については、これまで上述の1次元の場合を除いて殆ど肯定的な結果はなかった。この問題に対する一般的なアプローチを発見した。基本的なアイデアは上述の予想を加藤予想と関係付けることである。加藤予想とは、上述の問題とはまったく別のコンテクストにおいて加藤和也氏により1986年に提出された予想である。加藤氏は、有限体上の射影的で滑らかな多様体$X$、あるいは整数環上のregular proper flatなスキーム$X$にたいし、ある数論幾何的な不変量$KH_q(X)$を定義して、これが$q=0$以外では消えていることを予想した。$X$が有限体上の曲線、あるいは代数体の整数環のスペクトラムの場合の加藤予想は、有限体上の一変数関数体あるいは代数体$K$のブラウアー群に関する古典的類体論の基本事実($K$上の中心的単純環にたいするHasse原理を含む)に同値である。加藤予想に迫る基本的アイデアは、加藤予想を「数論的スキームのエタールホモロジーにたいし、Bloch-Ogusの理論により構成されるあるスペクトラル系列の$E^2$項にたいする消滅定理」と再解釈することである。このアイデアを発展させ、加藤予想を「適当なスキームの圏上で定義される一般的なホモロジー理論に付随するBloch-Ogusスペクトラル系列の$E^2$項の適当な条件のもとでの消滅定理」という一般的枠組みにおいて考察することにより以下の定理を得た。
定理 自然数$r$を固定する。滑らかな多様体に埋め込まれた次元$r$以下の部分多様体の特異点の解消を認めれば、$q\leq r+2$にたいし、$KH_q(X)=0$である。
さらに上の意味での特異点の解消を$r=2$で示すことに成功した。これにより、$q\leq 4$にたいする$KH_q(X)=0$が無条件で示され、さらにモチフィックコホモロジーの新しい有限性定理をもたらす。
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