| 研究課題/領域番号 |
14340025
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
長友 康行 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (10266075)
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| 研究分担者 |
山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
伊藤 光弘 筑波大学, 数学系, 教授 (40015912)
大仁田 義裕 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90183764)
田崎 博之 筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684)
高山 茂晴 東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (20284333)
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| 研究期間 (年度) |
2002 – 2004
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| 研究課題ステータス |
完了 (2004年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,900千円)
2004年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
2003年度: 1,400千円 (直接経費: 1,400千円)
2002年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
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| キーワード | モジュライ空間 / ベクトル束 / 反自己双対接続 / 四元数多様体 / 表現論 / ツイスター空間 / ツイスター作用素 / 対称空間 / 四元数多様対 |
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| 研究概要 |
本研究においては、モジュライ空間の性質を解明するために以下の研究を行った。
以前の研究において、コンパクトリー群の表現論を用いることにより、4次元幾何学における成果を別の角度から見直し、高次元のコンパクトリー群に付随した四元数対称空間に対して、「ASD接続の族」を構成することに成功していたが、次元簡約の方法を用いることにより、これらの間に次元を超えた関係のあることがわかった。この方法はASD接続を許容するベクトル束の新しい発見法を示唆するものとして期待される。また、上記「ASD接続の族」が完備であるかどうかはそのコンパクト化を考察する上でも重要な謎であったが、これに対してもツイスター方程式を満たす切断「ツイスター切断」の理論を構築することにより、さまざまな場合に肯定的な解答を得ることに成功した。これはツイスター切断がツイスター空間上では正則切断に対応し、その結果、ホモロジー代数的手法を適用することが可能となったことによる。また、ツイスター切断の理論を四元数対称空間上の等質ベクトル束において展開することにより、「単連結コンパクトリー群の実表現の内で、主固定部分群が非自明であり、かつそれが可換群でも離散群でもない表現と横断的ツイスター切断の零点集合として得られるコンパクト四元数対称空間内の四元数部分多様体の同型類との間に一対一対応が存在する」という結果を得ることにも成功した。さらにツイスター切断の理論を用いることにより、モジュライ空間のコンパクト化において重要な役割を果たすと予想される特異集合をもつ特異ASD接続とこの接続を許容するベクトル束との間に関連のあることも示すことができた。すなわち、「特異ASD接続の特異集合が代表するホモロジー類のポアンカレ双対がベクトル束の特性類である」という事実を多くの場合において示すことに成功した。また、上記においてホモロジー代数的手法に言及したが、高次元においては考察すべき層コホモロジーが飛躍的に増大し、しばしば扱いきれないことがあるが、以前得られていた層コホモロジーに対する消滅定理を再考し、その一般化にも成功した。この一般化された「消滅定理」はこの方面では最終形のものである。この一般化された消滅定理とツイスター切断の理論を組み合わせて用いることにより、さらなるASD接続のモジュライ空間の構成にも成功した。これら高次元インスタントンモジュライ空間の具体例の組織的な構成は現在までのところ本研究のみであると思われる。
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