| 研究概要 |
3次元射影空間内のインテグラルカーブを定める4変数多項式環Rの斉次素イデアルIのベーシックシークエンスを(a ; n_1, n_2,...,n_a ; n_{a+1},...,n_{a+b})(b>0)とする.今回の研究でいろいろなことが新しく分った.そのうち主なものを述べておこう.簡単のため標数を0とする.
(1)a>=2,b>=1とする.さらに,t+1<=a'<=aを満たす整数t>=1,a'に対し,n_i=n_t+i-tがすべてのi(t<=i<=a')に対して成り立ち,n_{a+1}<n_{a'}とする.このとき,t(t-1)/2>max{i|n_{a+i}<n_{a'},1<=i<=b}.
(2)n_i=n_1+i-1がすべてのi(1<=i<=a')に対して成り立つようなa'(1<=a'<=a)があるとき,n_a'<=n_{a+1}である.
(3)n_i=n_1+i-2がすべてのi(2<=i<=a')に対して成り立つようなa'(1<=a'<=a)があるとき,n_a'<=n_{a+1}である.
あとの2つは(1)の系である.(1)〜(3)のどの場合も,「その曲線を含む超局面のうち次数が最小のものが既約である」という条件に置き換えて成り立つ.詳細な式はここでは省くが次のことも分った.
(4)b=1の場合,さらに細かいインテグラルカーブのベーシックシークエンスが満たす必要条件.
(5)Cookの連結性予想に対し,その後Decker-Schreyerが付帯条件をつけた証明を公表したがそれも正確ではなかった.彼等よりさらにゆるい付帯条件の下で彼等より広い範囲をカバーする「連結性」.
これら以外のものも含めて,分った条件全てを満たすような数列a, n_1,...,n_{a+b}をコンピュータによって求めることができるようになっている.
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