| 研究概要 |
平成15年度に行った研究としては,次の3つを挙げることが出来る.
1.シリンダー的山辺不変量,オービフォールド山辺不変量の研究
なめらかなコンパクト多様体の一般化として,オービフォールドの山辺定数/不変量をシリンダー的山辺不変量を用いて適切な定義を与えた.4次元のシリンダー多様体でそのシリンダー的山辺不変量が正の場合には,Atiyah-Patodi-Singer L^2-指数定理を共形幾何的に適用でき,その値を上から評価する方法を与えた.また山辺不変量に関する小林型の不等式をシリンダー的山辺不変量に拡張し,その応用の研究をした.
2.コンパクト共形多様体のMassの研究
Mass(またはADM Mass)は,漸近的平坦な多様体に対して定義される幾何学的不変量である.正の山辺不変量を持つコンパクト共形多様体(M, C)に対して,C内のリーマン計量gとM上の1点pを選ぶことにより,ゼロ・スカラー曲率を持つ漸近的平坦な多様体M-{p}が定義され,そのMassは非負となる.この値は,計量gと点pの選び方に依存する.(M, C)の共形不変量を構成するために,M上のHabermann-Jostの標準計量g_<HJ>から始めて漸近的平坦な多様体M-{p}を構成すると,そのMassは点pの選び方に依らず一定値となる.このことを利用して,(M, C)の共形不変量としてのMassが定義される.さらに共形類Cを変数としてその下限をとることにより,コンパクト可微分多様体MのMass不変量が定義可能である.
この不変量の連結和に関する小林型の不等式の研究を行った.
3.3次元多様体の山辺不変量
宇宙論における「リーマン的ペンローズ予想」の解決に用いられた中心的手法である「逆平均曲率流の手法」を応用することにより,3次元実射影空間RP^3の山辺不変量がBray-Nevesにより決定された.これは「定曲率多様体の山辺不変量に関するSchoen予想」の最初の肯定的解答である.この予想に関しては依然多くが未解決であるが,特に本研究では'RP^3と有限個のS^2xS^1の連結和多様体'の山辺不変量を逆平均曲率流の手法を用いて決定した.
上記の研究において,研究費補助金による国内・外の研究者の招聘等による研究連絡は極めて有用であった.
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