| 研究概要 |
誤差の影響を極限的になくするスキームの構築を目的に,反復計算における解の収束する上で判断すべき条件の設定や,収束速度の高速化についての考察を行った.また,それらを現実の流体計算や交通流問題に適用し,数理物理的な現象の解析を行った.まず複雑系がもつ局所的,および大域的な構造を視覚化することによって複雑系に内在する,一見同じように複雑に見える数値解の本質的な構造を数値的な立場から明らかにして解の信頼性の判定を行う手法を確立した.特に,収束性を向上させる上で効果のある安定項を付加した場合の近似的な不変集合の定性的な構造が直感的に分類することが可能となり,収束性を上げることと,数値解の構造が変わってしまうとの両面性を今後考えていかなければならない課題であることが明らかになった.一方,極限的に精度を上げる目的で,無限精度数値計算を数値積分に応用し,数値解の構造が非常に敏感である場合の,種々の誤差を排除する手法の拡張を行った.これによって,さらに発展方程式の数値解への誤差の影響が小さくなることが期待される.さらに,大規模な数値シミュレーションでは不可欠の連立一次方程式の効率的な新しい解法の開発にも取り組んだ.特に,共役勾配法でのクリロフ部分空間法を用いた場合の方法についての新たな知見が得られた.さらに時系列データ等の多変量解析を詳細に行うことによって,離散系が示す多種多様な分岐パターンを分類し,その中から特徴的な現象を洗い出すことを目的として研究を行い,いくつかの新しい知見を得た.
次に本研究では,ランダムな様式での誤差の流入に対して数値解の構造がどのように変化するかについて,定量的な議論を確率論的な立場と数値実験的な立場の両面から明らかにすることを試みた.まず確率差分方程式の平均値としての力学的挙動について理論的に考察し,決定論に従う差分方程式と同じパラメータをもつランダム項が付加された確率差分方程式では,平均値として異なる構造を持つことが示唆された.さらにその手法を基にして,決定論とは異なる観点からリアプノフ指数による安定解の構造についての新たな知見を得た.また,その結果を実際の流体シミュレーションにおける反復解法の収束条件の依存性という形で実証した.また大規模な数値シミュレーションでは不可欠の並列分散環境での連立一次方程式の効率的な新しい解法の開発にも取り組んだ.
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