| 研究概要 |
本研究では、1-因子の臨界性と拡張可能性についての研究をおこなった。まず、グラフの部分グラフによる条件による臨界性の結果として次の定理を得ることが出来た。
(i)k、pをk≡p(mod 2)なる非負整数、Gを位数pのグラフ、FをGの互いに素な頂点集合をもつGの完全全域部分グラフ(これを完全因子と呼ぶ)でGの連結度がk+1以上であるか、Fの成分数が3以上であることをみたしているものとする。Fの各成分CにたいしC'=C(p-|C|≡k(mod 2)の場合)またはC-{v}(p-|C|≡k(mod 2)の場合,vはC内の固定した1点とする)とおく。このとき、任意のC∈Fに対し、G-C'がk-因子臨界的であるなば、Gもk-因子臨界的である。
さらに、この結果と類似の結果として因子拡張性における定理を得、また、条件を少し強めることによって、より強い結論となる定理の証明を与えることが可能となった。これらの結果はこれまでの再帰的条件による臨界性、拡張可能性に関するいくつかの結果の自然な拡張となっている。また、ここでの証明で用いたアイデアを利用することによってFavaronのよる既存の結果の証明を短くすることも可能となった。
加えて、グラフの閉包概念による因子拡張性の研究を進め、次の結果を得た。
(ii)Gをグラフ、x∈V(G)を局所2n-連結な頂点、{u, v}⊂V(G)-{x}を次の近傍条件をみたす2頂点集合とするuv【not a member of】E(G),x∈N(u)∩N(v),N(x)⊂N(u)∪N(v)∪{u, v}°このとき'G+uvがn-拡張可能ならば、Gもn-拡張可能である。または、Gはある特定の例外的グラフの族にある。
また、局所連結性を仮定することなくグラフの連結度に関する条件を置くことにより、類似の結果を得た。
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