| 研究概要 |
タイヒミュラー空間は非等質的な空間であり,モジュラー群は推移的には作用しない.コンパクトリーマン面の場合,モジュラー群の作用は不連続であるが,タイヒミュラー空間が無限次元になるとこの様相は一変する.このカオス的様相とタイヒミュラー空間の非等質性をあわせて,無限型リーマン面のモジュライ空間を新しい研究対象としてとらえなおした.一般位相幾何学的には,このモジュライ空間は距離付け可能な場合と第一分離公理すらみたさない場合の両極にわかれる.しかし特異性は一部分にしかなく,残りはよい構造が入りうる部分である.このような安定領域をリーマン面の双曲幾何学的特性で特徴づけ,安定領域を完備化することにより,複素構造全体をある同値関係で縮約したモジュライ空間を構成した.具体的には,1点集合の閉包をリーマン面上の幾何で記述することが可能になり,意味のあるモジュライ空間の点とは何かを具体的に与えられようになった.
普遍タイヒミュラー空間のモデルの一つである擬等角拡張可能な単位円板上の正則函数の前シュワルツ微分全体のなす空間を考察し,それらの連結成分や古典的な単葉函数族との関係,および凸性について研究を行った.また,普遍タイヒミュラー空間のベアス埋め込みの位置に応じて,対応する単葉函数がどのような幾何的な性質を持つかを調べ,たとえばシュワルツ微分の増大度についてのある制限のもとに,原点からの距離が小さければその函数が星状であったり,凸状であったりするという結果を得た.
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