| 研究概要 |
オイラー-ラグランジュ定式化によるナビエ-ストークス方程式の擬スペクトル法による数値実験を実行し、その結果を解析した。
初年度は2本の交差する渦管という、渦のつなぎ替えが起きる初期条件を用いて数値計算を行った。用いた格子点数は256^3および512^3である。まず、粘性拡散効果のため、拡張された粒子のラベルのヤコビ行列式が0となることを発見した。そこで、ラベル変数の可逆性を保つために行列式が小さくなる時A=xとリセットを行った。その結果、リセットが頻繁に起きる時間帯が、渦のつなぎ替えに正確に対応していることがわかった。また、リセットの間隔が、小スケール特徴的な時間に近いことを示し、つなぎ替えの定量的な判定規準になることを明らかにした。また、物理空間における構造として、渦度|ω|と擬渦度|ζ|の等値面を比較した。
2年目は、以上の手法を一般の一様等方性減衰乱流の数値実験に適用しナビエストークス乱流の研究を行った。乱流においてもリセットが必要であることを数値的に明らかにし、この手法は、乱流中で起きている小規模の渦のつなぎ替えの同定に有効であることを示した。次に、ナビエストークス方程式とその非粘性極限であるオイラー方程式との関係に注目し、両者の関係の特異摂動論的な特徴づけを行った。このためには、ラベルの2階微分を用いて表せる「接続」と呼ばれるテンソルCが非粘性極限で、異常な振る舞いをすることを示した。具体的には、引き続くリセット時間帯[t_j, t_<j+1>]で次の無次元量注目し、
<lim>__<ν→0>ν∫^<tj+1>_<tj>‖C‖^2_pdt>A_p>0,‖C‖_p≡(1/((2π)^3)∫|C|^pdx)^<1/p>
となる定数A_pの存在を指示する数値結果を得た。この結果は、オイラー方程式はナビエストークス方程式の単純な極限ではないことを示唆している。
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