量子群の表現論の幾何学的研究

• 研究課題/領域番号: 14740006
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 斉藤 義久 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20294522)
• 研究期間 (年度): 2002 – 2004
• 研究課題ステータス: 完了 (2004年度)
• 配分額: 3,700千円 (直接経費: 3,700千円); 2004年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円); 2003年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円); 2002年度: 1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
• キーワード: 量子群 / 結晶基底 / 結晶結底

研究概要

申請時に設定した今年度の目標は以下の通りであった。
[1]A^<(2)>_<2n>型量子群の結晶基底の幾何学的かつ具体的な記述。
[2]対称群のモジュラー表現への応用。
前年度までの研究でA^<(2)>_<2n>型量子群の結晶基底がA^<(1)>_<2n-1>型量子群の結晶基底からDynkin図形の畳み込みによって構成できることがわかっていた。しかしこの構成は抽象的な一般論であるため、対称群のモジュラー表現への応用を考える場合、より具体的存記述が必要となる。そこで今年度はまず上記の畳み込みの方法を、組合せ論的手法により具体的に記述することを試みた。古典型量子群の結晶基底はYoung図形によって具体的に記述出来ることが知られている。そこで畳み込みの操作で固定されるヤング図形の組合せ論的な特長付けを行うことを第一の目標とした。
その結果、可解格子模型の研究で用いられるある種の差分方程式の理論を応用することによって、畳み込みで固定されるYoung図形を具体的に求めるためのアルゴリズムを得ることに成功した。さらにそれをquiver多様体の幾何学の言葉に翻訳することにも成功した。
本研究の成果に関しては現在論文を準備中で、来年度以降発表の予定である。

研究成果

• [雑誌論文] An introduction to canonical basis (2004)
  • 著者名/発表者名: Yoshihisa Saito
  • 雑誌名: Fields Institute Communications 40 ページ: 431-451
• [文献書誌] Yoshihisa Saito: "An introduction to the canonical bases"The Fields Institute Communications Volume. (to appear). (2004)
• [文献書誌] Yoshihisa Saito: "Crystal bases and quiver varieties"Mathematische Annalen. 324. 675-688 (2002)