| 研究概要 |
代数体上の楕円曲線を導手で分類することは、理論面、応用面のどちらから見ても大事なことである。有理数体上の楕円曲線の分類はかなり進んでおり、今ではJ.E.Cremonaによる大きな表ができている。また、虚二次体の場合もいくつかの成果がある。そこで研究代表者は、実二次体上の楕円曲線の分類を行うことにし、ここ数年行っている。最も簡単な場合、即ち導手が自明な楕円曲線を分類する時に不定方程式X^3=u+v, X^3=u+27v(Xは問題にしている実二次体の整数、u, vは単数)が現れる。これらの不定方程式(より一般に、有理数体でない代数体上の不定方程式)はあまり調べられておらず、わかっていないことが多い。そのことが実際の分類作業の障害となっている。そこで本研究では、これらの方程式、特に前者について詳しく調べ、非自明な解を全て求める方法や、非自明な解が存在しないことを示す簡単な規準を与えた。それらを用いて計算機で実験した結果、非自明な解は高々1組であろうという予想を立てた。(一組とは、共役を取る、単数の3乗を掛けるなど、一つの解から自明な方法で得られる解は同じものであると考えた上での組である。)この予想の証明はまだ得られておらず、今後は予想の証明を与える、もしくは、より実験を重ね、予想の反例を与えるのが課題である。
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