基本群の表現と円周上の曲面束の位相不変量に関する研究

• 研究課題/領域番号: 14740036
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京農工大学
• 研究代表者: 森藤 孝之 農工大, 工学部, 助教授 (90334466)
• 研究期間 (年度): 2002 – 2004
• 研究課題ステータス: 完了 (2004年度)
• 配分額: 2,600千円 (直接経費: 2,600千円); 2004年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2003年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2002年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
• キーワード: 基本群の表現 / 和田多項式 / ファイバー結び目 / 円周上の曲面束 / 双曲体積 / L^2-torsion

研究概要

今年度は,3次元多様体の基本群の表現を用いて構成される代数的不変量について,主として研究を行った.特に3次元球面内の結び目補空間の基本群について,それがいつ整数環と曲面群との半直積に同型になるかを判定する必要条件について考察した.以下,得られた結果の概略を述べる.
上記のような基本群の構造をもつ3次元球面内の結び目はファイバー結び目と呼ばれ,これまでに多くの研究が重ねられてきた一方,その判定は幾何学的・代数的にも一般には非常に難しい問題として知られている.これを代数的に捉える一つの古典的な結果として,ファイバー結び目のアレキサンダー多項式はモニック多項式(最高次係数が1)になることが知られている.
この結果を踏まえ,基本群の表現の情報を取り込んだ和田多項式(アレキサンダー多項式の一つの一般化)についても,ファイバー結び目に対してはモニック多項式で表されることを示した.これにより,アレキサンダー多項式の情報だけではファイバー性を判定できなかった多くの例につても,その判定が容易にできるようになった.
最後に,これらの計算を実行するにあたり,計算機を用いた数値実験が一役を担っていることを付記しておく.

研究成果

• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "L^2-torsion invariants and homology growth of a torus bundle over S^1"Proc.Japan Acad.Ser.A Math.Sci.. 79. 76-79 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "Twisted Alexander polynomial for SL(2,C)-representations and fibered knots"C.R.Math.Acad.Sci.Soc.R.Can.. 25. 97-101 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "Reidemeister torsion, twisted Alexander polynomial and fibered knots"Surikaisekikenkyusho Kokyuroku. 1329. 163-166 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "L^2-torsion of a surface bundle over S^1"Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku. 1329. 167-172 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "On Meyer's function of hyperelliptic mapping class groups"Journal of the Mathematical Society of Japan. 55. 117-129 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "Numerical calculation of L^2-torsion invariants"Interdisciplinary Information Sciences. (in press).
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "L^2-torsion invariants of a surface bundle over S^1"Journal of the Mathematical Society of Japan. (in press).
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "L^2-torsion of a surface bundle over S^1 and a hyperbolic volume (II)"Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku. 1270. 24-28 (2002)
• [文献書誌] Takayuki Morifuji: "On Algebraic K-theory, homology spheres and the η-invariant"Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku. 1279. 8-25 (2002)