| 研究概要 |
多様体の楕円種数は,Dirac作用素をベクトル束の母関数で捻った作用素の指数として定義され,トーラス作用がある場合は同変楕円種数が定数になることがBott-Taubes, Liuの剛性定理として知られている.本研究の目的は,V-多様体上の楕円種数の剛性を考察することにより,古典テータ関数やDedekindエータ関数等に由来する多くの算術和の相互法則を組織的に導き出し,それらの関係をゲージ理論の観点から統一的に理解することにあった.本研究では特に,トーリックV-多様体である高次元の重み付き複素射影空間上で楕円種数が定める母関数の各項をAtiyah-Singer-Kawasakiの指数定理を用いることにより計算し,商特異点からの寄与に関する相互法則を導くという方法をとった.
指数公式の右辺に当たる位相的指数はV-多様体の特性数並びに特異点からの寄与の和として現れ,明示的に計算することができる.一方,左辺に当たる解析的指数は位相的指数の形から定まる有理関数に対して留数定理を用いることにより決定し,Zagierによる高次元Dedekind和の相互法則の一般化として,Fourier-Dedekind和をはじめとした無限個の算術和の相互法則を与える方法を確立した.また,算術和を与える特異点からの寄与は特異点の絡み目に関する符号数不足指数型不変量とみることにより,特異点の絡み目に関する不変量の相互法則を与えていると考えることができる.
Alvarez-Gaurae-Wittenによる重力異常項の相殺公式は12次元閉スピン多様体に対する特性類の線形結合の消滅を主張するものである.本研究では,この特性類の線形結合に対応する,符号数不足指数型不変量の線形結合を用いた11次元レンズ空間に対する不変量を構成し,その相互法則を証明した.この方法はLiuによる8k+4次元に対する特性類の消滅定理に対しても展開することができる.
現在は,同変楕円種数の位相的指数の形から定まるトーラス上の有理関数に留数定由を適用することにより上記の相互法則を母関数として導出する試みを行っている.これらの議論を服部-桝田氏の一般のトーラスV-多様体に対して遂行し,トーラスV-多様体の多重扇,並びに特異点の絡み目の符号数不足指数型不変量に関する組み合わせ論を展開することが今後の課題である.
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