調和解析の記述集合論

• 研究課題/領域番号: 14740076
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 愛媛大学
• 研究代表者: 藤田 博司 愛媛大学, 理学部, 助手 (60238582)
• 研究期間 (年度): 2002 – 2004
• 研究課題ステータス: 完了 (2004年度)
• 配分額: 2,800千円 (直接経費: 2,800千円); 2004年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2003年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2002年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
• キーワード: 記述集合論 / 調和解析 / 一様分布論 / 公理的集合論 / 強制法 / Projective Set / 解析数論 / 強制法による独立性証明 / 三角級数 / キャパシティ / 位相群 / 巨大基数 / 決定公理 / ディオファントス近似

研究概要

調和解析に登場するcapacityの理論への記述集合論への応用と、弱い形の決定公理が集合論のいかなるモデルで成立するかという問題に取り組むために、位相群論、調和解析学、測度論、集合論とくに巨大基数公理、記述集合論などのテーマをこの観点から再編成する目的で幅広く調査した。巨大基数公理と記述集合論の関連を理解することを目的として、京都大学で開催された「巨大基数の集合論」共同研究集会に参加し、射影集合を含むより広いクラスの実数の集合論に対する巨大基数公理の影響について討議した。とくに、無限組み合わせ理論と実数の集合論を結ぶ掛け橋となる実数値可測基数の性質の解明は今後の課題として残されている。また、その一方で、調和解析は自然現象を解析する物理数学を源流とするものであり、関連する現象の個々の例はまさに具体的な音や光の自然現象のなかに、いたるところに存在する。もちろん、それらを直接取り扱うことは我々の目的とするところではないが、研究の動機付けとなる具体例との関連を見失わないためにも、具体的な数値のシミュレーション(数値実験)を取り入れ、発散する三角級数の和の増大度などをコンピュータによって数値計算した結果から無限の遠方での漸近挙動を予測し、しかるのちその予測に解析学の手法で厳密な証明を与えるという方法を確立した。なお、この「発散する三角級数」は、調和解析的零集合の研究において、測度論的な考察に不可欠の道具である。