| 研究概要 |
本研究の目的は,ゲージ場の理論に現れるフェルミオン揚と非可換ゲージ場の相互作用の効果を数学的に解明することである.その相互作用を記述するヤン・ミルズ・ディラック方程式の時間大域解の存在,漸近挙動,解の滑らかさを調べるのが主な目的である。
そのための準備としてフェルミオン揚と可換ゲージ場の相互作用を表すマクスウェル・ディラック方程式で磁場がない場合をこれまで考察してきた.この場合の方程式はハートリータイプの非線型項をもつディラック方程式である.この非線型項に含まれるポテンシャルはクーロンポテンシャルと呼ばれるものでべきは-1であるが,数学的問題として一般の負べきに置き換えて研究を進めた.前年度までわかったことは,非線型項に含まれるポテンシャルのべきが-1より小さく空間4次元以上であれば,ストリッカーツ評価式と呼ばれる方法を用いて小さな初斯値に対して時間大域解の存在が示される.ところが空間3次元においてはこの方法はうまくいかないことがわかった.
そこで今年度は違う手法を試みた.非線型項の中の合成積部分と非線型項全体の各点評価を行ったのである.簡単のため,空間2,3次元におけるディラック方程式で質量項がない場合を考察した。まず,初期値の無限遠方での減衰評価を仮定すると線型ディラック方程式の解の各点評価式が求まる.この評価式を基にして解の重みつきノルムを定義する.このノルムを用いて合成積部分および非線型項全体の精密な各点評価式を導くことができた.シュレディンガー方程式などを含めハートリータイプの方程式に対して各点評価を用いる手法は初めての試みである.得られたこの結果を論文にまとめている.
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