| 研究概要 |
本研究では、分散型とよばれる偏微分方程式の初期値問題の適切性と解の滑らかさに関する性質、それに付随した実主要型偏微分作用素の解析、古典力学に現れる非線型偏微分方程式の初期値問題の解法への応用等を考察する。非コワレフスキー型の時間発展型擬微分方程式で,初期値問題が未来にも過去にも一意可解であるものは分散型とよばれている。
与えられた作用素が分散型であるかどうかを特徴付けることは一般には難しい問題である。実際、数直線上の2階及び3階の方程式とトーラス上の2階の方程式に限って特徴付けられている。本研究では2次元トーラス上の3階の実数値の線型偏微分方程式が分散型であるかどうかを考察した。主表象のヘシアンが退化しない場合、つまりハミルトン流が測地流のようにすべての方向に向かう場合に、方程式が分散型であるための必要十分条件を得た。
また、深水波のモデル等を含めた2次元ユークリッド空間上の半線型方程式の初期値問題の時間局所可解性を考察した。この種の方程式は、古典的エネルギー法では扱うことが出来ないので抽象的コーシー・コワレフスキーの定理の応用によって,適当な実解析関数の枠組みにおいてのみ解の存在定理が知られていた.主表象(定数係数)のハミルトン流が全く捕捉されないとき、すなわち主部が実主要型のとき、ユークリッド空間上の定数係数線型分散型方程式の初期値問題の解な初期値よりも時空間局所的に少し滑らかになることが知られていて、局所平滑効果とよばれている。Hoshiro (2003)により、逆に局所平滑効果が起こるためには主部が実主要型であることが必要であることも証明されている。本研究では,主部が実主要型のときに、ソボレフ空間の枠組みで通常の時間局所解の存在定理と思われる定理を示すことができた。
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