正標数の可換環論の視点からの不変式論

• 研究課題/領域番号: 14J00422
• 研究種目: 特別研究員奨励費
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 国内
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 中嶋 祐介 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
• 研究期間 (年度): 2014-04-25 – 2016-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2015年度)
• 配分額: 2,000千円 (直接経費: 2,000千円); 2015年度: 900千円 (直接経費: 900千円); 2014年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
• キーワード: Frobenius写像 / Ulrich加群 / ダイマー模型 / 非可換クレパント解消 / 不変式環 / フロベニウス写像 / dual F-signature / Auslander-Reitenクイバー

研究実績の概要

正標数の可換環に対してはFrobenius写像と呼ばれる正標数の世界特有の写像が定義でき,その写像を用いてFrobenius直像と呼ばれる加群が定義される.昨年度までの研究では商特異点のFrobenius直像の構造を考察し,正標数の特異点に対して定義される種々の不変量の値を決定したが,その不変量を決定する際に用いた手法を応用すると,Ulrich加群と呼ばれる対象を扱うことが可能になる.そこで今年度は2次元巡回商特異点の場合について日本大学の吉田健一氏と共同研究を行い,Ulrich加群の分類に関する論文を執筆した.さらに上記の商特異点のFrobenius直像がCohen-Macaulay表現論と非常に相性の良い対象となっている事実に注目し,トーリック特異点のFrobenius直像についてもCohen-Macaulay表現論の観点から考察を行った.特に３次元Gorensteinのトーリック特異点に付随するダイマー模型と呼ばれる対象から得られる極大Cohen-Macaulay加群とFrobenius直像の構造を比較した.

その他にもダイマー模型から得られる３次元Gorensteinトーリック特異点の非可換クレパント解消の変異に関する研究を行い,反射的多面体に付随するトーリック特異点に関してはダイマー模型から得られる非可換クレパント解消は変異によって互いに移り合うことを示した.また名古屋大学の伊山修氏との共同研究ではsteadyな非可換クレパント解消という概念を新たに定義し,そのような非可換クレパント解消を持つ特異点について考察した.

現在までの達成度 (段落)

27年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

27年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] Dual F-signature of special Cohen-Macaulay modules over cyclic quotient surface singularities (2016)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: Journal of Commutative algebra 巻: 未定
  • 査読あり / 謝辞記載あり
• [雑誌論文] Singularities characterized by non-commutative crepant resolutions (2016)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: 第37回可換環論シンポジウム報告集 巻: なし ページ: 20-25
  • 謝辞記載あり
• [雑誌論文] Steady non-commutative crepant resolutions arising from dimer models (2016)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: 第28回可換環論セミナー報告集 巻: なし ページ: 28-34
  • 謝辞記載あり
• [雑誌論文] Dual F-signature of Cohen-Macaulay modules over rational double points (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: Algebras and Representation theory 巻: 18 号: 5 ページ: 1211-1245
  • DOI: 10.1007/s10468-015-9538-7
  • 査読あり / 謝辞記載あり
• [雑誌論文] Generalized F-signature of invariant subrings (2015)
  • 著者名/発表者名: Mitsuyasu Hashimoto and Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 443 ページ: 142-152
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2015.06.039
  • 査読あり
• [雑誌論文] Ulrich modules over cyclic quotient surface singularities (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: 第36回可換環論シンポジウム報告集 巻: なし ページ: 37-45
• [雑誌論文] Rank one MCM modules coming from dimer models (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: 第27回可換環論セミナー報告集 巻: なし ページ: 60-67
• [学会発表] Mutations of dimer models and splitting maximal modifying modules (2016)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: Cluster Algebras and Geometry
  • 発表場所: University of Munster
  • 年月日: 2016-03-12
  • 国際学会
• [学会発表] An introduction to dimer models and related topics I, II, III (2016)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第3回ワークショップ 非可換Gorenstein代数とその周辺
  • 発表場所: 東京電機大学
  • 年月日: 2016-02-19
  • 招待講演
• [学会発表] Steady non-commutative crepant resolutions arising from dimer models (2016)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第28回可換環論セミナー
  • 発表場所: 岡山理科大学
  • 年月日: 2016-01-25
• [学会発表] An introduction to dimer models from a viewpoint of commutative algebra (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第2回グレブナーセミナー
  • 発表場所: 関西学院大学
  • 年月日: 2015-11-24
  • 招待講演
• [学会発表] Singularities characterized by non-commutative crepant resolutions (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第36回可換環論シンポジウム
  • 発表場所: 倉敷シーサイドホテル
  • 年月日: 2015-11-19
• [学会発表] Ulrich modules over cyclic quotient surface singularities (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: Advanced Algebra Seminar for Degree Candidates
  • 発表場所: University of Osnabruck（ドイツ）
  • 年月日: 2015-02-24
  • 招待講演
• [学会発表] Some F-invariants for quotient singularities (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: Homological bonds between Commutative Algebra and Representation Theory
  • 発表場所: University of Barcelona（スペイン）
  • 年月日: 2015-02-16
• [学会発表] Rank one MCM modules coming from dimer models (2015)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第27回可換環論セミナー
  • 発表場所: 静岡大学（静岡県）
  • 年月日: 2015-01-27
• [学会発表] Ulrich modules over cyclic quotient surface singularities (2014)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第36回可換環論シンポジウム
  • 発表場所: IPC生産国際交流センター（神奈川県）
  • 年月日: 2014-11-22
• [学会発表] Dual F-signature of special Cohen-Macaulay modules (2014)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: Commutative Algebra and Singularity Theory 2014
  • 発表場所: 立山国際ホテル（富山県）
  • 年月日: 2014-08-01
• [学会発表] Conic divisorial ideals via dimer models (2014)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 第3回 岡山可換代数表現セミナー
  • 発表場所: 岡山大学（岡山県）
  • 年月日: 2014-07-07
• [学会発表] Relations between Frobenius push-forward and non-commutative crepant resolutions : Examples via dimer models (2014)
  • 著者名/発表者名: Yusuke Nakajima
  • 学会等名: 日大特異点セミナー
  • 発表場所: 日本大学（東京都）
  • 年月日: 2014-06-16