| 研究実績の概要 |
本年度は有界関数空間におけるナヴィエ・ストークス方程式の初期値・境界値問題の可解性について研究を行った. 有界関数空間においてはヘルムホルツ射影作用素が非有界作用素として働くことから, 非線形問題の可解性を示すにはストークス半群の解析性だけでは不十分である. この為, 本研究では（１）ストークス半群の合成作用素に対するアプリオリ評価と（２）非線形問題への応用の研究を行い, 有界関数空間における時間局所可解性の問題を解決した. これにより特に有界領域・外部領域などの非自明な境界をもつ領域において, タイプI爆発が最小の爆発率になることを証明した.
（１）ストークス半群の合成作用素に対するアプリオリ評価
ストークス半群とヘルムホルツ射影作用素, 発散作用素の合成に対するアプリオリ評価の研究に取り組んだ. ヘルムホルツ射影作用素に対するスケール不変なヘルダー型の評価を導き, 爆発解析と組み合わせることにより有界領域・外部領域などの領域において合成作用素に対する新しい形のアプリオリ評価を導出することに成功した. この研究成果は原著論文として纏め, 学術雑誌へと投稿した.
（２）有界関数空間におけるナヴィエ・ストークス方程式の時間局所可解性
先の研究において導出したアプリオリ評価の応用として, 連続関数空間におけるナヴィエ・ストークス方程式の時間局所可解性定理を確立した. これにより特に, 有界領域・外部領域などの非自明な境界を持つ領域に対しても爆発解の最小の爆発率はタイプI爆発になることを証明した. この研究成果は学術雑誌から出版予定である.
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