| 研究実績の概要 |
現在,リーマン面Rのp乗可積分タイヒミュラー空間Tp(R)の複素解析的構造について研究を行っている.ここで,タイヒミュラー空間とは標識付きリーマン面の複素構造の変形空間であり, その内p乗可積分なベルトラミ係数を代表元として持つタイヒミュラー同値類からなる部分空間をp乗可積分タイヒミュラー空間とよぶ.
今年度においては,特に2乗可積分タイヒミュラー空間に関して以下の結果を得た.
(1) RがLehner条件をみたすとき,T2(R)上のWeil-Petersson計量がケーラー計量となる.
(2) RがLehner条件をみたすとき,T2(R)上のWeil-Petersson計量の正則断面曲率およびリッチ曲率が負となる.
ここで,RがLehner条件をみたすとは,R上のすべての単純閉測地線の長さの下限が正値となることである.これらの結果は学術論文にまとめており,現在学術誌「Journal of Geometric analysis」に投稿中である.諸結果はAhlforsの結果の拡張である.実際,Alforsはリーマン面RがコンパクトであるときにWeil-Petersson計量がタイヒミュラー空間T(R)上で定義され,上記の結果を示した.
本結果もAhlforsの証明法の類似で示される.コンパクトリーマン面のタイヒミュラー空間は有限次元であるが本研究の場合は一般に無限次元となる.この点において,まずは無限次元複素多様体のケーラー幾何について整理する必要が出たが,有限次元と同じ結果が成立することを確認できた.Ahlforsの証明はコンパクトリーマン面の双曲面積の有限性を用いているが,本研究では面積は発散する.そこでフックス群の作用に関する緻密な計算と双曲2乗ノルムの有限性およびLehner条件の複素解析的な特徴付けを用いることにより目的を達成した.
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