| 研究実績の概要 |
近年AGT予想（2次元共形場理論の相関関数と4次元ゲージ理論の分配関数が一致するという予想）のq変形版などで重要な役割を演じているDing-Iohara-Miki代数(DIM代数)と呼ばれるホップ代数の表現の構造についての研究を行った。DIM代数のレベルN表現という表現ではAFLT基底と呼ばれるAGT予想を説明するうえで非常に良い性質を持った基底を取ることができ、その基底はMacdonald多項式のある種の一般化(一般化Macdonald多項式)とみなすことができる。
本年度は特にレベル N 表現から現れるある代数AのKac行列式を証明することで、Awata, Feigin, Hoshino, Kanai, Shiraishi, Yanagida によって予想された代数 A の生成元に関するPBW型のベクトルが基底を成すという予想を解決した。さらに代数 A の特異ベクトルがある一般化Macdonald多項式と一致しているという事実を発見した。この発見は通常のMacdonald多項式が変形W代数の特異ベクトルに一致するという従来から知られている対応の一般化とみなすことができる。
また一般化Macdonald多項式へのDIM代数のいくつかの生成元の作用の形も調べ、その一般形を予想した。一般化Macdonald多項式はあるハミルトニアンの固有関数として特徴づけることができるが、そのハミルトニアンと可換な可算無限個の高階のハミルトニアンを与え、その固有値も予想した。これらの予想は、一般化Macdonald多項式がDIM代数の自己同型写像を通じてランクN表現（DIM代数のレベルN表現とある種の双対関係にある表現）の抽象的な基底を具体的に再現していることを表している。またDIM代数の普遍R-行列に関する研究も行い、その表現行列の一般化Macdonald多項式を用いた公式も予想した。
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