| 研究概要 |
Hを体k上のホップ代数,Aを右H余加群代数,DをAの余不変元からなる部分多元環,MをAからDへの左D線形写像全体のなす(A,D)両側加群とする.Hが分裂ホップ代数のとき,Aが(A,H)ホップ加群として単純でD加群としての次元が有限であれば,AのD加群構造とMのH余加群構造に適当な変形を与えることにより,AとMは(A,H)ホップ加群かつ(A,D)両側加群として同型になるという結果を得た,この結果は有限次ホップ代数の双対性のホップ加群への一般化と考えることができる,また,有限次分裂ホップ代数Hが斜体Dに作用しているとき,Dを含むD#Hの右H余加群部分代数Aにこの双対性を応用して,ホップ代数の積分に当たるAの元の特徴を与えることができた,さらに,そのことにより,Rが素環,KがRのextended centroidで,有限次分裂ホップ代数HがRにX外部的に作用する場合,任意標数のもとで,Rの有理的完備部分環とK#Hの右H余加群部分代数との間に1対1のガロア型対応が与えられることが示された,今後の課題として,これらの結果をホップ代数よりもさらに一般的な対象であるクロスK双代数へ一般化するという問題があげられる.そのため,クロスK双代数に関する基本性質,特に環への作用についての検証を進めることが当面の課題となる.また,対応定理において,ホップ代数の作用についたX外部的という条件や,作用する環が素環という条件を緩めることが可能かどうか,さらにガロア理論に見られる対応定理以外の様々な結果に発展させることができるかどうか,検証を行うことも課題としてあげられる.
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