| 研究分担者 |
柳田 伸顕 茨城大学, 教育学部, 教授 (20130768)
卜部 東介 茨城大学, 理学部, 教授 (70145655)
大塚 富美子 茨城大学, 理学部, 助教授 (90194208)
相羽 明 茨城大学, 理学部, 助教授 (90202457)
竹内 護 茨城大学, 理学部, 講師 (40007761)
森杉 馨 和歌山大学, 教育学部, 教授 (00031807)
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| 配分額 *注記 |
3,500千円 (直接経費: 3,500千円)
2005年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
2004年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
2003年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
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| 研究概要 |
当研究の主目的はリー群Gから自分自身への連続写像のホモトピー類群[G,G]の解析であった。
1.当面の問題を次の予想の解決とした:Gが連結な単純リー群ならば群[G,G]のベキ零指数はGの階数以上。階数の小さな場合に予想が成り立つことを,個々のG毎に,数年をかけて確認したが,一般の場合には未だ反例も肯定的な証明も得てはいない。
2.上の予想の弱い形:Gが連結な単純リー群で階数2以上ならば群[G,G]のベキ零指数は2以上。これを含む次の定理を証明した:Gが連結でコンパクトなリー群で群[G,G]が可換となるのは次のGのみ「トーラスT^n(n≧0),T^m×S^3(0≦m≦2),SO(3)」。ここでT_n=S^1×…×S^1(n個)。
3.上の定理の応用:Gをコンパクト連結リー群とする。
(1)空間Xの自己写像でホモトピー群の恒等写像を誘導する連続写像のホモトピー類集合ε_#(X)は写像の合成を積として群となる。特にε_#(G)が自明であるための必要十分条件はGがトーラス,S^3,SO(3)のいずれかであること。
(2)群[G,G]の演算を和+で表し,合成による演算を積で表したとき,[G,G]は常に右分配則を満たすことは良く知られていた。これが左分配則を満たす必要十分条件はGがトーラス,S^3,SO(3)のいずれかであること。
4.Gが半単純で階数2の連結コンパクトリー群の場合に,群[G,G]のベキ零指数を決定した。さらにS^3×SO(3),SO(4)の場合は群構造自体を決定した。
5.標準的写像S^3×S^11→G_2がいかなる素数pで局所化したらH_-写像となるかという問題を解決した。一般のGに対する同種の問題を将来解決したいと思っている。
6.ε_#(G)の典型的な部分群相互の関係についてArkowitz,Stromとの共同研究で多くの結果を得た。
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