| 研究概要 |
集合A上の多変数関数の集合で,射影関数をすべて含み,合成に関して閉じているものをA上のクローンといい,A上のクローン全体の集合をA上のクローン束という。一方,A上の1変数関数からなるモノイドの束を考える。
本研究では,モノイドの束とクローン束との間に定義されるガロア対応に着目し,このガロア対応に伴う基本的な性質を調べた。モノイドMに対し,Mに属す任意の関数と「可換」な(多変数)関数の全体からなるクローンをMの中心化クローン(centralizer)と呼ぶ。
1.対称群と交代群の中心化クローンの研究
対称群と交代群の各々について中心化クローンの特徴づけを与えた。
2.中心化クローンが最小クローンであるための判定条件の研究
モノイドMの中心化クローンが最小クローンとなるためにMがみたすべき判定条件(十分条件)を与えた。
3.対称群を含むモノイドに対する中心化クローンの研究
A上の対称群を含むすべてのモノイドに対し,それらに対する中心化クローンをすべて決定した。その際,前項に述べた判定条件が有効に用いられた。多くのモノイドに対し,その中心化クローンは最小クローンになる。ただし,4値の場合のモノイド"M_2"は例外的な振る舞いを示し,その中心化クローンは最小クローンではない。これは,大変興味深い結果である。
4.最小クローンを中心化クローンとするモノイドの研究
ガロア対応では,比較的小さいモノイドは比較的大きいクローンに対応するのが「自然」である。しかし,その直観に反して,比較的小さいモノイドでその中心化クローンが最小クローンになる例をいくつか見出した。
5.超クローンの研究有限集合上の超クローンの濃度について,研究を行った。
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