| 研究概要 |
1.可算個の頂点を持つ完全グラフから1辺を除いたグラフはどんな次元でも整数距離グラフとならないが、平面上の有理数距離グラフとなる。また、K_nが平面上の整数距離グラフとして、どの3頂点も同一直線上になく、どの4頂点も同一円周上にないように実現できるなら、完全n部グラフK(a_1,a_2,...,a_n)は平面上の有理数距離グラフとなる。ここで、a_k=(k-1 choose 2)+(k-1 choose 3)+1である。
2.平面上の点集合の場合、1-ノルムと∞-ノルム(maxノルム)については、それらの点を結ぶ最小スターの中心が容易に求められる。また、n(n≠4,>2)とk>1についてp-ノルム(p=1,2,...,k)での最小スターの中心がすべて異なるような平面上のn点集合が存在する。ところが4点集合についてはどんなノルムについても、同じ点が最小スターの中心となる。(倉敷芸術科学大学の渡辺守氏との共同研究)
3.ユークリッド空間内のm+2個以上の点の集合Xに対して、Xの(m+1)-点集合に、その凸包のm次元体積を対応させる写像μは、汎距離(hemi-metric)で、m次元の単体不等式を満たす。各mについて、この不等式の余裕の限界値(super-bound)s(m)が定義でき、その値は点集合Xの形状にある程度関係がある。実際、|X|≧5のとき、同値な関係"s(1)=2⇔s(2)=3⇔[Xは正則単体の頂点集合]"が成立する。3次元の正多面体の頂点集合についてはs(m)の値を計算した。n次元の十字多面体の場合、n≧m≧3なら常にs(m)=3で、n次元立方体の場合はm>0のとき、s(m)→1(n→∞)となる。(M.Deza, M.Dutourとの共同研究)
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