| 研究分担者 |
櫻田 邦範 北海道教育大学, 教育学部・札幌校, 教授 (30002463)
長田 正幸 北海道教育大学, 教育学部・札幌校, 助教授 (10107229)
長谷川 和泉 北海道教育大学, 教育学部・札幌校, 教授 (50002473)
小室 直人 北海道教育大学, 教育学部・札幌校, 助教授 (30195862)
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| 研究概要 |
A∈B(H)でA=U|A|をpolar分解とするとき,0【less than or equal】λ【less than or equal】1に対して,A_λ:=|A|^λU|A|^<1-λ>をλ-Aluthge変換とよぶ。特にA^^~:=A_<1/2>をAluthge変換と呼ぶ。
ρ>0に対して、ヒルベルト空間H上の有界線形作用素Tがρ-縮小作用素であるとはK⊃Hなるヒルベルト空間Kとその上のユニタリ作用素Uがあって、T^n=ρPU^n|_H (n=1,2,…)が成り立つこととする。ここでPはKからHへの直交射影作用素である。これに関連して、Tのρ-半径をw_ρ(T)=inf{γ>0|γ^<-1>T∈C_ρ}で定義する。ρ-半径(ρ>0)を総称して作用素半径とよぶ。w_ρ(・)は0<ρ【less than or equal】2でノルムになるが2<ρ<∞のときは準ノルムにはなるがノルムではない。w_ρ(・)に関して、次のことがいえる。
Theorem 1 T∈B(H)のpolar分解をT=UPとする。また、fを多項式とするとき、0<ρ,0【less than or equal】λ【less than or equal】1に対してw_ρ(f(T_λ))【less than or equal】w_ρ(f(T)).
M_n上のノルム|||・|||が|||VXV^*|||=|||X|||(V∈M_n):unitary,X∈M_n)を満たすときweakly unitarily invariant normと呼ぶ。このとき,次のことがいえる。
Theorem 2.T∈M_nがinvertibleでT=UPをTのporlar decompositionとして,TB=BTとする。また,|||・|||をM_n上のweakly unitarily invariant normとするとき,|||P^λBUP^<1-λ>||【less than or equal】||BT||| (0【less than or equal】λ【less than or equal】1).
これを用いて次のことがいえる。
Theorem 3.T∈M_nのpolar decompositionをT=UPとする。|||・|||をM_n上のweakly invariant normとする。このとき,0【less than or equal】λ【less than or equal】1および任意の多項式fに関して|||f(T_λ)|||【less than or equal】|||f(T)|||成り立つ。
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