| 研究概要 |
1.Turrittin型方程式の中でも比較的単純な方程式にある種の斉次的な低階項が加わったような方程式に対して,第2超局所的な解析を試みた。この場合には溝畑型の場合と同様に,第2超局所的なフーリエ変換の理論に基づく基本解の構成が可能であることがわかった。この構成ではフーリエ像の空間における関数を,ある常微分方程式の大域解を用いて作り,大域解の増大度に関する結果を利用した。より特殊な場合には,逆フーリエ像がある種のフックス型常微分方程式の解をもちいて表現されることもわかり,そのフックス型方程式の特異点と特性指数,さらに解の接続の際の振る舞いの情報がある程度わかった。
2.一方で,実領域と複素領域の直積型空間上には正則パラメータ付きマイクロ関数を考えることができ、これらそのものが正則関数の境界値として与えられるが,もう一度その境界値を取ることで第2マイクロ関数等の第2超局所的な関数概念を得ることができる。上記の方程式は超局所的にかなり狭い集合でのみ楕円性をもつが,その逆作用素は正則パラメータ付きマイクロ関数への作用を考えられ,第2超局所的な解を構成できた。この構成法と,片岡による擬微分作用素の境界値の理論との関連,特に古典性の保存との関連はこれからの研究課題となる。
3.また,線形偏微分方程式の基本解は積分変換の核関数とみなせる。「核を持つ積分変換で表される線形写像はある種の連続性に似た概念で特徴付けられる」という期待の元に,核関数を調べ,半連続性という概念を導入して解析的カテゴリにおける核定理を得た。その際に,曲面ラドン変換による写像の核の構成を用いた。
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