| 研究課題/領域番号 |
15540169
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
基礎解析学
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
會田 茂樹 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (90222455)
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| 研究分担者 |
長井 英生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (70110848)
永幡 幸生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (50397725)
日野 正訓 京都大学, 大学院・情報学研究科, 助教授 (40303888)
磯崎 泰樹 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (90273573)
桑江 一洋 熊本大学, 教育学部, 助教授 (80243814)
関根 順 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (50314399)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2005
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| 研究課題ステータス |
完了 (2005年度)
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| 配分額 *注記 |
3,600千円 (直接経費: 3,600千円)
2005年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2004年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2003年度: 1,400千円 (直接経費: 1,400千円)
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| キーワード | 準古典極限 / 確率解析 / ラフパス解析 / Wittenラプラシアン / 対数ソボレフ不等式 / 径路積分 / 場の量子論 / ループ空間 / 径路積分表示 / 推移確率 / シュレーディンガー作用素 / ラプラスの方法 / 弱ポアンカレ不等式 / ラブラスの方法 |
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| 研究概要 |
当該研究期間において、得られた成果は次の通りである。
(1)Wiener空間上の変数係数の係数作用素を持つディリクレ形式およびポテンシャル関数により定義されるシュレーディンガー作用素(ただし、Wiener測度はパラメータλでスケールされた測度を考える)の最小固有値のλ→∞の漸近挙動を決定した。
定数係数の場合はすでに論文として発表済みだが、一般の場合は現在執筆中である。
(2)リーマン多様体M上のある固定された点から出発する連続な道の空間(パス空間)を考える。この空間には、パラメータλによりスケールされたブラウン運動の測度、H-微分がある。パス空間上の関数Vをとり、シュレーディンガー作用素が定義できる。この作用素のλ→∞の下でのスペクトルボトムの漸近挙動(準古典極限)を決定した。
証明は、(i)Uのゼロ点の近傍でシュレーディンガー作用素を2次のポテンシャルをもつWiener空間上のシュレーディンガー作用素で近似すること、(ii)Uのゼロ点の近傍の外側では、スペクトルボトムはλ^2のオーダーになることを示すことによりなされる。(ii)の方は対数ソボレフ不等式を用いて示される。ここまでは、研究代表者自身により以前に示されていたが、(i)の証明ができたのが最終年度の大きな成果である。なお、この結果は(1)の問題で係数行列が非有界作用素の場合と考えられる。またLie群上のpinned path spaceの上でGrossのポテンシャル付き対数ソボレフ不等式の精密化を示し、準古典極限の問題に応用した。これらについては、現在執筆中である。
(3)Rough path解析を応用しループ空間上で弱ポアンカレ不等式の証明、上記の準古典解析を行った。また、その連続性定理の証明の不備な部分を補う証明を与えた。
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