| 研究課題/領域番号 |
15540213
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
大域解析学
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| 研究機関 | 東海大学 |
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研究代表者 |
山口 勝 東海大学, 理学部, 教授 (10056252)
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| 研究分担者 |
赤松 豊博 東海大学, 理学部, 教授 (00112772)
伊藤 達夫 東海大学, 理学部, 教授 (20151516)
田中 實 東海大学, 理学部, 教授 (10112773)
松山 登喜夫 東海大学, 理学部, 教授 (70249712)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2005
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| 研究課題ステータス |
完了 (2005年度)
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| 配分額 *注記 |
3,600千円 (直接経費: 3,600千円)
2005年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2004年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2003年度: 1,400千円 (直接経費: 1,400千円)
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| キーワード | 非線形波動方程式 / Klein-Gordon方程式 / Suspended string equation / 周期解 / 概周期解 / Diophantine近似 / カスプ / Diophantine不等式 / 重い振動弦の方程式 / 重みをもつSobolev型空間 / Schauderの不動点定理 / 自由振動 / Diophantine Condition / Suspended String / 連分数 / 球対称領域 / Bassel 関数 / 吊り下げられた弦の方程式 |
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| 研究概要 |
得られた研究成果は次の通りである。
1.空間次元1から5までにおける球内で定義された球対称な非線形自励型波動方程式が可算無限個の時間に関する周期解をもっことを示した。周期はすべて異なる周期で一次独立になっている。
証明には、周期とラプラシアンの固有値に関する弱ポアンカレ型のmophantine条件が用いられた。このため、ベッセル関数の零点の漸近展開を行い零点の数論的性質が詳しく研究されている。また、周期を特定するために波動方程式に対応する非線形常微分方程式の解と周期が詳しく解析されている。また、ここで用いられた方法を適用して、空間1次元非線形Klein-Gordon方程式の境界値問題を考察し、可算無限個の時間に関する周期解をもつことを示した。
2.吊り下げられた重い弦に、時間に関して準周期的に変化する外力が作用している場合の初期値境界値問題を研究した。空間主要部の微分作用素の固有値と外力の準周期に一般的なDiophantine条件を仮定したとき、すべての解が概周期関数になるというきわめて一般的な結果を得た。解の概周期構造も明らかにされている。Diophantine指数と外力項の微分可能性との関係も明らかにされた。
また、上記の結果から境界値問題が外力項と同じ準周期をもつ準周期解をもつことも示された。この方程式に適合した新しい関数空間を設定し、これらの空間の中で固有値問題の解を求め、この解を用いてスペクトル理論を構成しこの問題を解いている。
3.空間領域と波動方程式が空間について球対称な場合について、領域が時間について周期的に振動する場合に3次元非線形波動方程式の境界値問題の周期解が存在することを示した。
4.多様体上の測地線に関する次の定理を証明した。
「定理 Mを球面と同相な実解析的なリーマン計量を持つ多様体とする。もし、Mのガウス曲率がいたるところ正ならば、Mの各点の共役点のなす集合は、1点からなるかまたは、少なくとも4っのカスプをもつ。」
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