トポロジーにおける実験数学

• 研究課題/領域番号: 15634003
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 企画調査
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 小島 定吉 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (90117705)
• 研究分担者: 山下 靖 奈良女子大学, 理学部, 講師 (70239987) ; 阿原 一志 明治大学, 理工学部, 講師 (80247147) ; 和田 昌昭 奈良女子大学, 理学部, 教授 (80192821) ; 高沢 光彦 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助手 (80323822)
• 研究期間 (年度): 2003
• 研究課題ステータス: 完了 (2003年度)
• 配分額: 1,900千円 (直接経費: 1,900千円); 2003年度: 1,900千円 (直接経費: 1,900千円)
• キーワード: 双曲幾何学 / 3次元トポロジー / クライン群 / 実験数学 / プログラミング言語 / アルゴリズム / グラフィックス / 可視化

研究概要

本研究は,トポロジーにおける実験数学の研究形態のプロトタイプを提案することを主眼として,この1年間企画調査を行った.
当初の予定通り,夏にイギリスを訪問し,Experimental Mathematics誌の初代編集長であったD.Epstein教授,および実験数学を代表する書物Indra's Pearlsの著者のであるC.Series教授,D.Wright教授とトポロジーにおける実験数学の現状について意見交換し,米国および英国の情報を収集した.その結果,実験数学の裾野が拡がる過程では,実装するアルゴリズムに話を絞るのが数学上の問題と計算上の問題を同じ土俵で議論するのに有効であり,さらに協調的な実験数学の研究につながる例が多かったことを知った.
そこで12月に予定していた研究集会「トポロジーとコンピュータ」は,このことを念頭においてプログラムを組み東工大で開催した.とくに,多項式解法プログラムの作成者と基本群の表現の研究者の共同研究の発表では,当初は違う問題を解く目的で設計されたアルゴリズムがこの場合に妥当であるかどうかを,実験成果だけからでなくより実証的に示せないかなどの,数学と計算の双方で新たな課題が出るという討論の展開があった.
確かにアルゴリズムは,論証を重んじる数学と技術を重視する計算を結びつけるスポットであり,それを主役に置くことにが実験数学の研究およびその発表形態のプロトタイプになり得ることが確認できた.今後はこの企画調査の成果を,サマースクール形式でのプログラミング技術講習会,およびアルゴリズム指向の新しい研究集会の企画につなげ,平成17年度に実行に移す予定である.

研究成果

• [文献書誌] Kojima, Mizushima, Tan: "Circle packings on surfaces with projective structures"Journal of Differential Geom.. 63. 349-397 (2003)
• [文献書誌] Kojima, Mizushima: "The Dehn filling space of a certain hyperbolic 3-orbifold"Contemporary Math.. (to appear).
• [文献書誌] Yamashita, Nishi, Kojima: "Configuration spaces of points on the circle and hyperbolic Dehn fillings, II"Geometriae Dedicata. 89. 143-157 (2002)
• [文献書誌] M.Wada: "About the OPTi program that helps in the study of hyperbolic geometry and Klein's group theory"Sugaku. 55. 101-107 (2003)
• [文献書誌] Kitano, Morifuji, Takasawa: "L^2-torision invariants and homology growth of a torus bundle over S^1"Proceedings of Japan Academy. 79. 76-79 (2003)