標準淡中双対性と可解格子模型

• 研究課題/領域番号: 15654004
• 研究種目: 萌芽研究
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 林 孝宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60208618)
• 研究期間 (年度): 2003 – 2005
• 研究課題ステータス: 完了 (2005年度)
• 配分額: 3,800千円 (直接経費: 3,800千円); 2005年度: 500千円 (直接経費: 500千円); 2004年度: 500千円 (直接経費: 500千円); 2003年度: 2,800千円 (直接経費: 2,800千円)
• キーワード: 量子群 / 可解格子模型 / 淡中双対性 / 弱ホップ代数 / 面代数 / ホップガロア理論 / ホップ代数

研究概要

当初の研究計画では、ホップ双ガロア理論を面代数(弱双代数)に対して一般化することを最初の目標としていたが、この方向については海外の研究者により類似の研究がなされる可能性が高いと判断し見送ることにした。代わりとして、量子群の普遍R行列を関数環上の双線形形式と見なしたもの、とりわけその非対称性についての考察を行った。そしてその応用として、A型WZW模型に対応するテンソル圏の標準淡中双対として得られる弱ホップ代数(面代数)に対し、その普遍R行列が非退化双線形形式であることをほぼ証明することができた。これは、この量子群が、量子展開環など量子二重構成から得られるものとは全く異なる性質を持っていることを意味しており、興味深い結果であると考えている。またこの結果は、この量子群がその双対と代数または余代数として同型であることを意味している。そのため、これまで取り扱ってきた余加群の代わりに加群を考えてもよいことになり、表現の具体的な考察が大変行いやすくなったといえる。
一方、本研究と並行して行っていた古典不変式論の標準淡中双対性の観点からの研究については、前年度に具体的な進展があったため、本年度も引き続き、優先的に研究を行った。その結果として、いくつかの点で対象についての理解を深めることができたとは思おうが、残念ながら、依然として克服できない困難が残っており、さらなる努力が必要な状況にある。
その他、弱双代数のある種の無限次元化である乗法子弱代数の研究を行い、またそれに関連して、単位元を持たない代数の位相についての研究を行った。