| 研究課題/領域番号 |
15654016
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| 研究種目 |
萌芽研究
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 九州大学 (2004-2005)
名古屋大学 (2003) |
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研究代表者 |
長田 博文 九州大学, 大学院数理学研究院, 教授 (20177207)
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| 研究分担者 |
松本 裕行 名古屋大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (00190538)
梁 淞 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (60324399)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2005
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| 研究課題ステータス |
完了 (2005年度)
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| 配分額 *注記 |
3,700千円 (直接経費: 3,700千円)
2005年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2004年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2003年度: 1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
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| キーワード | 行列式過程 / フェルミオン / 無限粒子系 / Dysonモデル / 拡散過程 / 2次元プラズマ / Ginibre Ensemble / 無限次元確率微分方程式 / ランダム行列 / 対数ポテンシャル / 流体の方程式 / 確率力学系 / Fermion測度 / フェルミオン測度 / Fermion measure / ランダムマトリックス / Bessel過程 / D:richlet form |
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| 研究概要 |
この研究では、ランダム行列に関係する無限次元確率力学系を構成し、その性質を調べることを目的とした。これらの確率力学系はその定常分布で特徴づけられる。それが、ランダム行列のスペクトラムのスケーリング極限になるときを、この研究は主眼としている。この定常分布は行列式測度となり、核関数で定義されるが、今年度は核関数がAiry関数の場合、および指数関数の場合を研究目標とした。前者に関しては、研究の進展はわずかであったが、後者については、めざましい進展があった。
このモデルは、2次元空間の無限粒子系であり、定常分布は、Ginibre Ensembleとよばれる、ランダム行列のスペクトラムの極限となっている。この定常分布は、2次元空間の回転・平行移動でも不変な確率測度である。物理的には、2次元クローン力によって相互作用しまた中心力を受ける、単一符号のプラズマについての確率力学系である。
本年度、まずDirichlet空間理論をもちいて、この確率力学系の構成を行った。その際にこの定常分布の統計的性質(無限粒子系の空間の幾何的性質)が必要となるが、それを白井氏の結果を拡張することにより必要な結果を得た。さらに、この確率力学系を、無限次元確率微分方程式の解として表現した。その際に、無限次元の確率微分方程式を解くための、一般的かつ簡明な方法を開発した。これはGibbs測度を定常分布とする、通常の干渉ブラウン運動にも適用できる方法である。
従来、本研究のに現れるような無限次元確率微分方程式は、係数の特異性が高く、方程式を形式的に書き下す以上に、それをとくことは難しいと思われたが、Dirichlet形式理論と、ある概念的なアイデアを用いることで解決できた。
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