| 研究概要 |
これまでに行った研究のひとつにGreenberg, Gillardによって証明されている実アーベル体の類数公式の拡張というものがあった。それは固定した奇素数pと各自然数nに対し、実アーベル体K上の円分Zp拡大におけるn番目の中間体のイデアル類群のp部分と単数群の円単数群による剰余群のP部分をKの有理数体上のガロワ群GのZp上の群環Zp[G]上の加群と考え、その二つの加群のGの指標κによるκ部分の位数の関係を明示したというものであった。ちなみにGreenberg、GillardはKの有理数体上の拡大次数がpで割り切れない場合を扱っており、この研究ではそれを一般の場合に拡張したものであった。これを証明する際、Kの円分Zp拡大体におけるP上の素イデアルの局所単数群の積の円単数群による剰余群U/CのZp[G]加群としての構造の考察が必要であり、さらに詳しく調べることによって、その構造の一部も決定していた。今年度の研究ではこの結果を利用することでGreenberg予想に対して何らかのアプローチが出来ないかを試みた。Greenberg予想はこの設定ではKの円分Zp拡大体における単数群をEとするとき、E/Cが消えるであろうという予想に言い換えることができる。そこでK'をK/K'がp次拡大となるようなKの部分体としたとき「K'に対する予想を仮定したとき、Kに対する予想が導けないか」とうい問題が考えられる。この問題はE/CのK/K'のガロワ加群としての構造を決定することで解決する。これまでの研究においてU/Cのガロワ加群としての構造は決定できているので、それを用いて、その部分加群E/Cの構造を考察した。
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