| 研究概要 |
東京工業大学の大山洋史氏、小島定吉氏と共同で結び目の補空間に関する双曲体積とその他の不変量の関係に関する研究を行った。
SouteとBrockにより、3次元閉多様体Mに対して、種数gのHeegaard分解を与える写像によって定まるCurve Complex上の距離の最小値Pd(M)とMの双曲体積Vol(M)がLipschitzな関係にあることが示されており、閉でない多様体である結び目の補空間に対しても同様のことが期待される。
一方、結び目Kの補空間に対しては、colored Jones多項式CJ(K,n)のある特殊値をnに関して極限をとることにより体積が得られるというKashaev-村上-村上による体積予想があり、いくつかの結び目に対して証明がなされている。
これらをふまえて、結び目の補空間に関してCJ,Pd,Volの関係を調べることを行った。具体的には、結び目の中の系列の一つである2-bridge knot S(p,q)の補空間に関して、これらの不変量の計算を行った。
Pdに関しては、S(p,q)の種数2のHeegard分解を与えることにより上限を求めることができた。
CJに関しては、高田により2-bridge knotの場合の計算式が与えられているが、これを改良することで、特殊値を計算機上で大量に求めた。
多量のデータをグラフィカルに表示することにより、これらの間に予想された相関がみられることが観測された。
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