計算困難な整数計画問題に対する主算法アプローチに基づく厳密解法の構築

• 研究課題/領域番号: 15740050
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 塩浦 昭義 東北大学, 大学院・情報科学研究所, 助教授 (10296882)
• 研究期間 (年度): 2003 – 2005
• 研究課題ステータス: 完了 (2005年度)
• 配分額: 2,700千円 (直接経費: 2,700千円); 2005年度: 900千円 (直接経費: 900千円); 2004年度: 900千円 (直接経費: 900千円); 2003年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
• キーワード: 凸解析 / 整数計画 / 主算法 / 離散最適化 / 非線形計画 / 数理計画 / ネットワークフロー / マトロイド / convex analysis / integer program / primal algorithm / discrete optimization / nonlinear program / mathematical program / network flow / matroid

研究概要

本研究の目的は,計算困難な整数計画問題に対して,主算法によるアプローチを使って,効率的な厳密解法を構築する,というものである.一般の非線形整数計画問題に対する効率的なアルゴリズムの完成には至らなかったが,それまでの研究において効率的なアルゴリズムの構築に有用と思われる興味深い結果を得ることができた.その内容を以下に述べる.
・完全ユニモジュラ行列と呼ばれる行列により制約条件が表現される非線形整数計画問題が,M凸関数,L凸関数などの離散凸関数と密接な関係をもつことがわかった.この結果は論文誌に掲載された.この結果のように,一般の非線形整数計画問題も局所的には何らかの良い構造をもっていることが期待され,これを利用することで効率的な解法が構築できるのではないかと考えられる.
・L凸関数最小化アルゴリズムに対する検討を行った.2005年9月にKolmogorovにより提案されたアルゴリズムと,2003年の室田のアルゴリズムの比較を行い,室田のアルゴリズムはKolmogorovのアルゴリズムを特殊化したものと見なせることを明らかにした.Kolmogorovのアルゴリズムは各反復での探索方向に自由度があるので,それを利用してより一般的な問題が解けるかどうかさらに検討した.
・ジャンプシステム上の分離凸関数最小化問題について検討を行った.基多面体上での分離凸関数最小化についてはすでに多項式時間アルゴリズムが知られているが,基多面体を一般化した概念であるジャンプシステムについてはまだ多項式時間で解けるかどうかわかっていない.そのため,研究代表者がこれまでに提案した領域縮小法やスケーリング法などの最小化手法が適用可能かどうか調べた.

研究成果

• [雑誌論文] A Fast, Accurate and Simple Method for Pricing European-Asian and Saving-Asian Options (2005)
  • 著者名/発表者名: Ken'ichiro Ohta, Kunihiko Sadakane, Akiyoshi Shioura, Takeshi Tokuyama
  • 雑誌名: Algorithmica 42(2) ページ: 141-158
  • NAID: 110002812510
• [雑誌論文] Substitutes and complements in network flows viewed as discrete convexity (2005)
  • 著者名/発表者名: Kazuo Murota, Akiyoshi Shioura
  • 雑誌名: Discrete Optimization 2(3) ページ: 256-268
• [雑誌論文] A Fast, Accurate and Simple Method for Pricing European-Asian and Saying-Asian Options (2005)
  • 著者名/発表者名: K.Ohta, K.Sadakane, A.Shioura, T.Tokuyama
  • 雑誌名: Algorithmic 掲載予定
• [雑誌論文] A Note on the Equivalence Between Substitutability and M$^natural $-convexity (2005)
  • 著者名/発表者名: R.Farooq, A.Shioura
  • 雑誌名: Pacific Journal of Optimization 1 ページ: 243-252
• [雑誌論文] Fundamental Properties of M-convex and L-convex Functions in continuous Variables (2004)
  • 著者名/発表者名: K.Murota, A.Shioura
  • 雑誌名: IEICE Transactions on Fundamentals E87-A ページ: 1042-1052
  • NAID: 110003213000
• [雑誌論文] Conjugacy Relationship between M-convex and L-convex Functions in Continuous Variables (2004)
  • 著者名/発表者名: K.Murota, A.Shioura
  • 雑誌名: Mathematical Programming 101 ページ: 415-433
• [雑誌論文] Efficiently Pricing European-Asian Options : Ultimate Implementation and Analysis the AMO Algorithm (2004)
  • 著者名/発表者名: A.Shioura, T.Tokuyama
  • 雑誌名: 情報処理学会研究報告 96 ページ: 43-50
  • NAID: 110002812022
• [雑誌論文] On Hochbaum's Scaling Algorithm for the General Resource Allocation Problem (2004)
  • 著者名/発表者名: S.Moriguchi, A.Shioura
  • 雑誌名: Mathematics of Operations Research 29 ページ: 394-397
• [文献書誌] K.Murota, A.Shioura: "Fundamental Properties of M-convex and L-convex Functions in continuous Variables"IEICE Transactions on Fundamentals. 掲載予定. (2004)
• [文献書誌] K.Murota, A.Shioura: "Conjugacy Relationship between M-convex and L-convex Functions in Continuous Variables"Mathematical Programming. 掲載予定. (2004)
• [文献書誌] K.Murota, A.Shioura: "Quadratic M-convex and L-convex Functions"Advances in Applied Mathematics. 掲載予定. (2004)
• [文献書誌] S.Moriguchi, A.Shioura: "On Hochbaum's Scaling Algorithm for the General Resource Allocation Problem"Mathematics of Operations Research. 掲載予定. (2004)
• [文献書誌] A.Shioura: "Fast Scaling Algorithms for M-convex Function Minimization with Application to the Resource Allocation Problem"Discrete Applied Mathematics. 134. 303-316 (2003)
• [文献書誌] K.Murota, A.Shioura: "Quasi M-convex and L-convex Functions : Quasiconvexity in Discrete Optimization"Discrete Applied Mathematics. 131. 467-494 (2003)