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クラックの入った有界領域上のラプラス作用素の固有値について

研究課題

研究課題/領域番号 15740091
研究種目

若手研究(B)

配分区分補助金
研究分野 基礎解析学
研究機関首都大学東京

研究代表者

吉冨 和志  首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 准教授 (40304729)

研究期間 (年度) 2003 – 2005
研究課題ステータス 完了 (2005年度)
配分額 *注記
3,500千円 (直接経費: 3,500千円)
2005年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
2004年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
2003年度: 1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
キーワードラプラス作用素 / 固有値 / 特異摂動問題 / クラック
研究概要

ラプラシアンの固有値の特異摂動問題について考察する.Ω⊂R^2を有界単連結領域とし,γ:[0,T]→R^2を∂Ω上の2点を結ぶ,Ω内の自己交差の無い滑らかな曲線とする.曲線γは弧長でパラメータ付けされているとする.ε∈[0,T]に対し,L(ε)を∂Ω上でDirichlet境界条件,亀裂γ((ε,T))上でNeumann境界条件に従うL^2(Ω)上の(-Δ)とする(ただしΔは2次元ラプラシアン).j∈Nに対し,λ_j(ε)をL(ε)の多重度を込めてj番目の固有値とする.λ_j(ε)はεの単調非減少関数である.Ω\γ((0,T))の2つの連結成分をΩ_+,Ω_-とおく.点{γ(0)}が∂Ω_+の次数α(1<α<∞)の尖点(interior cusp)である場合に,固有値λ_j(ε)のε→+0とするときの漸近挙動を精密に解析することが本研究の目的である.γ(0)=0とし,∂Ω_+\γ((0,T))とγ((0,T))は原点の近傍でそれぞれx_2=x^α_1とx_2=0で表されると仮定する.L^±をL^2(Ω_±)上の(-Δ)で,∂Ω_±∩∂Ω上でDirichlet境界条件,γ((0,L))上でNeumann境界条件に従うものとする.L_+,L_-の第1固有値をそれぞれλ^+_1,λ^-_1とおく.λ^+_1<λ^-_1の場合に,次の評価を得た:ある正の定数C_1が存在して,すべてのε∈(0,T)に対して,
λ_1(ε)-λ^+_1【less than or equal】C_1exp(-πε^<1-α>/(α-1))
が成り立つ.また,亀裂がx_1軸内の線分で,Ωが亀裂に対して対称である場合に次の評価を得た:ある正の定数C_1,C_2が存在して,すべてのε∈(0,T)に対して,
C_2exp(-πε^<1-α>/(α-1))【less than or equal】λ_2(ε)-λ^+_1【less than or equal】C_1exp(-πε^<1-α>/(α-1))
が成り立つ.

報告書

(3件)
  • 2005 実績報告書
  • 2004 実績報告書
  • 2003 実績報告書
  • 研究成果

    (7件)

すべて 2005 その他

すべて 雑誌論文 (5件) 文献書誌 (2件)

  • [雑誌論文] Eigenvalue problems on domains with cracks I2005

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Yoshitomi
    • 雑誌名

      Tokyo Journal of Mathematics 28・2

      ページ: 341-380

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Characterization of the absence of a spectral gap for a class of periodic Jacobi operators2005

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Yoshitomi
    • 雑誌名

      Indagationes Mathematicae 16・2

      ページ: 289-299

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Coexistence problems for Hill's equations with three-step potentials2005

    • 著者名/発表者名
      Kazushi Yoshitomi
    • 雑誌名

      Publicationes Mathematicae Debrecen 66・3-4

      ページ: 427-437

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Characterization of the absence of a spectral gap for a class of periodic Jacobi operators

    • 著者名/発表者名
      吉冨和志
    • 雑誌名

      Indagationes Mathematicae (掲載予定)

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] Spectral gaps of the one-dimensional Schrodinger operators with periodic point interactions

    • 著者名/発表者名
      吉冨和志
    • 雑誌名

      Hokkaido Mathematical Journal (掲載予定)

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [文献書誌] 吉冨和志: "Eigenvalue Problems on domains with cracks II"Japanese Journal of Mathematics. 29・2. 181-220 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 吉冨和志: "Coexistence problems for Hill's equations with 3-step potentials"Publications Mathematicae Debrecen. (掲載予定).

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書

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公開日: 2003-04-01   更新日: 2016-04-21  

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