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勾配流を用いた結び目のエネルギー最小元の存在と非存在に関する研究

研究課題

研究課題/領域番号 15J09156
研究種目

特別研究員奨励費

配分区分補助金
応募区分国内
研究分野 数学解析
研究機関埼玉大学

研究代表者

石関 彩  埼玉大学, 理工学研究科, 特別研究員(PD)

研究期間 (年度) 2015-04-24 – 2017-03-31
研究課題ステータス 完了 (2016年度)
配分額 *注記
1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
2016年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2015年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
キーワード結び目のエネルギー / メビウス・エネルギー / 勾配流 / メビウス変換 / エネルギーの分解 / 変分公式
研究実績の概要

メビウス・エネルギーは、ユークリッド空間内の結び目の標準形を決まるためのエネルギーとしてO’Haraが導入したエネルギーの一つで、メビウス変換によって不変である事がその名前の由来となっている。特にスケール変換によって不変であるため、通常の最小化列の方法で、与えられた結び目型内でのエネルギー最小元を探索する事が出来ない。1994年にFreedmann-He-Wangによって、素結び目型においてはエネルギー最小元の存在が示されたが、その際用いられた性質がメビウス不変性である。一方、素でない結び目型においては、数値実験などを根拠にエネルギー最小元は存在しないであろうと予想されている(Kusner-Sallivan予想)が、解決されていない。そのために、メビウス・エネルギーについては、多くの研究者の興味の対象となっている。

解析学の立場からメビウス・エネルギーをより扱いやすい部分に分解できないかを考察し、ある分解定理を得た。個々の分解エネルギーもメビウス不変性を保っており、元のエネルギーが持つ幾何学的な性質は壊していない。また、それぞれの分解エネルギーに対する第1変分・第2変分公式を得た。元のエネルギーに対する変分公式に導出よりはるかに見やすいものになっており、様々な関数空間における評価も得られやすい形に整理する事が可能である。
今年度は、分解エネルギーの第一変分公式の L2表現に関する成果が学術誌に公表された。メビウス・エネルギーの第一変分公式の L2表現では、その主要部に分数冪ラプラシアンが現れる。分解エネルギーについても、第1エネルギー・第2エネルギーの双方の第一変分公式の L2表現に分数冪ラプラシアンが主要部に現れる。これは、第1エネルギー・第2エネルギーの一方が主で他方が従であるというような関係ではない事を意味する。

現在までの達成度 (段落)

28年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

28年度が最終年度であるため、記入しない。

報告書

(2件)
  • 2016 実績報告書
  • 2015 実績報告書
  • 研究成果

    (5件)

すべて 2016 2015

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 1件、 謝辞記載あり 2件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 2件)

  • [雑誌論文] The L2-gradient of decomposed Mobius energies2016

    • 著者名/発表者名
      Aya Ishizeki, Takeyuki Nagasawa
    • 雑誌名

      Calc. Var. Partial Differential Equations

      巻: 55 号: 3 ページ: 1-31

    • DOI

      10.1007/s00526-016-0993-8

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] The invariance of the decomposed Mobius energies under the inversions with center on curves2016

    • 著者名/発表者名
      Aya Ishizeki、Takeyuki Nagasawa
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 26 号: 02 ページ: 1650009-1650009

    • DOI

      10.1142/s0218216516500097

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] 分解されたメビウス・エネルギーのメビウス不変性について2015

    • 著者名/発表者名
      長澤 壯之、石関 彩
    • 学会等名
      日本数学会秋季 総合分科会
    • 発表場所
      京都産業大学(京都府京都市)
    • 年月日
      2015-09-15
    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
  • [学会発表] A decomposition of the Mobius energy and consequences2015

    • 著者名/発表者名
      Aya Ishizeki, Takeyuki Nagasawa
    • 学会等名
      Geometric Energies with Links to Applications, Topology and Open problems
    • 発表場所
      Basel (Switzerland)
    • 年月日
      2015-08-31
    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] A decomposition of the Mobius energy and consequences2015

    • 著者名/発表者名
      Aya Ishizeki, Takeyuki Nagasawa
    • 学会等名
      Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE’s 4th Italian-Japanese Workshop
    • 発表場所
      Palinuro (Italy)
    • 年月日
      2015-05-25
    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 国際学会

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公開日: 2015-11-26   更新日: 2024-03-26  

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