| 研究課題/領域番号 |
15K17518
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 国立研究開発法人理化学研究所 (2017-2019)
慶應義塾大学 (2015-2016) |
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研究代表者 |
高井 勇輝 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 特別研究員 (90599698)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2019年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2018年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2017年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2016年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2015年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 保型形式 / 半整数ウエイト保型形式 / アーベル多様体 / 志村曲線 / 有理点問題 / 自己準同型環 / ラマヌジャングラフ / 総実体 / QM アーベル多様体 / Hasse 原理 / Tate-Shafarevich 群 / 総実体上のアーベル多様体 / 有理点 / 保型形式の計算 / Hilbert 保型形式 / L-関数の特殊値 / quaternionic 保型形式 / Jacquet-Langlands 対応 / Hilbert モジュラー形式 / Manin 定数 / 重さ半整数の保型形式 / 保型 L-関数 / 総実体上の数論 / Hilbert モジュラー多様体 |
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| 研究成果の概要 |
本研究では, 総実体上の保型形式を用いて整数論の問題に応用する手法を考察することや, 総実体上の保型形式が定義される志村多様体の幾何学的性質, 代数的性質に関する研究を行った. その成果として, 総実体上の半整数ウエイトの保型形式を用いて, 総実体上の総虚二次拡大における相対類数や保型 L-関数の特殊値に関する漸近挙動について解析した. またCM体上の四元数環で乗法を持つ有限体上のアーベル多様体の自己準同型環の構造を決定した（新井啓介氏との共同研究）. これにより, 総実体上の志村曲線の有理点問題に関する基本的な部分を明らかにし, Galois 表現を用いたより精密な分析への基礎を固めた.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
有理数体上の問題から総実体上の問題に拡張する際に生じる単数群や類数による障害をどのように回避するかに関する技術的な手法が幾つか得られた. また, 四元数環による乗法を持つアーベル多様体の自己準同型環の構造に関する結果は, その先にある志村曲線の有理点問題の精密化のための土台となる. これらの研究を通して, 総実体上の保型形式や志村多様体の性質についての理解が深まり基盤が固められたと考えている. 特に研究期間の終盤において, 本研究に密接に関連する挑戦的な共同研究を幾つか開始することができた. これらの今後の研究を介して成果として還元する.
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