| 研究課題/領域番号 |
16540040
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 研究分野 |
代数学
|
|---|
| 研究機関 | 中央大学 |
|---|
研究代表者 |
諏訪 紀幸 中央大学, 理工学部, 教授 (10196925)
|
|---|
| 研究分担者 |
関口 力 中央大学, 理工学部, 教授 (70055234)
百瀬 文之 中央大学, 理工学部, 教授 (80182187)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2004 – 2006
|
| 研究課題ステータス |
完了 (2006年度)
|
| 配分額 *注記 |
1,900千円 (直接経費: 1,900千円)
2006年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
2005年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
2004年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
|
|---|
| キーワード | 群scheme / Kummer理論 / Artin-Schreier理論 / Kummer-Artin-Schreier理論 / twisted Kummer理論 / fppf cohomology / etale cohomology / 代数群 / equivariant compactification / 生成多項式 |
|---|
| 研究概要 |
体Kおよび有限群Gに対してGをGalois群にもつKのGalois拡大を構成することは古典的な問題である。最も重要な結果はKummer理論であろう。Kummer理論は、正の整数nがKにおいて可逆でKが1のn乗根をすべて含めばKのn次巡回拡大は方程式t^n=aの根を添加することによって得られることを主張する。一方、Artin-Schreier理論は、Kが標数p>0なら、Kのp次巡回拡大は方程式t^n-t=aの根を添加することによって得られることを主張する。Witt vectorの理論は標数p>0の体のp^n次巡回拡大の美しい記述を与える。
今日では以上の理論はGalois cohomologyの枠組みで解釈するのが標準的な方法である。例えば、Kummer理論はKummer sequenceとよばれる群schemeの完全列とHilbert 90とよばれるcohomologyの消滅定理から導かれる。関口と諏訪はKummer sequenceとArtin-Schreier-Wittsequenceを結び付ける群schemeの完全列の存在を示している。
さて、最近、Kummer理論から体Kが1のn乗根をすべて含むという条件を外す問題が脚光を浴びている。就中目覚しい結果は小松尚夫氏[1]による二次拡大によるtwisted Kummer理論であろう。本研究ではその結果を環の上に一般化して、小松氏の結果と陸名雄一氏[2]によるn次巡回拡大に対する生成多項式に関する結果との関連を明らかにした。また、twisted Kummer理論とArtin-Schreier理論を統合する群schemeの完全列を構成した。
この研究では環の二次拡大に対するunitary group schemeが本質的な役割を果たしている。また、二次拡大の正則表現を用いてtwisted Kummer理論やtwisted Kummer-Artin-Schreier理論のcompact化を構成した。
[1]T.Komatsu - Arithmetic of Rikuna's generic cyclic polynomial and generalization of Kummer theory. Manuscripta Math 114 (2004) 265-279
[2]Y.Rikuna - On simple families of cyclic polynomials. Proc.Amer.Math.Soc. 130 (2002) 2215-2218
|
