| 研究概要 |
与えられた有限次の代数体上のQM型のアーベル懸線の"素数次数"の同種写像の分類問題を研究した。この問題は、このままの形であれば、楕円曲線の場合の分類の手法がほぼそのまま適応される。しかしながら、これらの対象のモジュライ空間である、素数レベル付きの志村曲線の代数的な点の分類という問題に拡張すれば、様々な困難が生ずる。それは、与えられた有限次の代数体k上の点に対して、その体上の良いモデルが一般には得られないことに依る。
そこで、ブラウアー群の理論を用いて、対応する元が消滅するようなkの2次拡大体K上のモデルをとり、その同種指標と2次拡大K/kに関する移送写像との合成写像を、分類に用いた。ここで、この2次拡大の選び方にはかなりの自由度があることが大切である。また、上の合成写像の12乗は、最初のレベルに関する素数p以外では不分岐であり、その4乗は、上のようなモデルの選び方に依らない。そして、まずは大きな枠での分類として、(キチンと分かる例外の素数pを除くと)2つのタイプI, IIに分類された。
タイプIIについては、2次拡大Kの同種写像の性質も用いて、楕円曲線の場合と同様な結果が得られた。タイプ1に付いては、志村曲線の還元の性質を用いて、pが4を法として3に合同であることを示し、それにより、楕円曲線の場合と同じような議論により、同様な結果をえた。そこでは、ある一つの素数に関する条件が必要となるが、前の楕円曲線の時の証明から、例外は高々2つまで許されることが分かっていたので、解析数論の結果を適応出来た。
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