| 研究概要 |
低次元トポロジーにおいて極めて大きな役割を果たしているSeiberg-Witten方程式は,古田幹雄氏(東大数理科学)による「有限次元近似」によって(同変)安定ホモトピー論の枠組みの中で捉えられ,Seiberg-Witten不変量を精密化した安定ホモトピー論的Seiberg-Witten不変量,スピン4次元閉多様体に対する「10/8-不等式」などが得られている.本研究において,まず10/8-不等式の1次元コホモロジー群上の積構造を加味した場合の改良が得られた.より正確には,スピン4次元閉多様体に対するある種のKO-特性類が定義され,10/8-不等式の改良はそれを使って述べられその特別な場合として上記の結果が得られた.また,この結果を導くために計算したあるK-群の計算がシンプレクティック4次元閉多様体のSeiberg-Witten不変量への応用が得られることを分担者から報告を受けた.
更に,この結果とSeiberg-Witten方程式の解空間の幾何学とのより直接的関係を調べた.それにより,スピン4次元閉多様体上のSeiberg-Witten方程式の解空間のスピン構造と解空間のある対称性から10/8-不等式が自然に導くことができることを示した.このような考察は解空間の次元が低い場合はすでにKronheimerによって行われているが,それを次元が高い場合に拡張するときに,KO-群がある役割を果たしていることを考察した.これらの手法はある一般的な枠組みの中で行われており,Seiberg-Witten方程式以外でも利用可能かどうかを検討してみたいと考えている.
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