| 研究課題/領域番号 | 16540107 |
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
坂元 国望 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (40243547)
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| 研究分担者 |
三村 昌泰 明治大学, 理工学部, 教授 (50068128)
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| 研究期間 (年度) |
2004 – 2006
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| 研究課題ステータス |
完了(2006年度)
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| 配分額 *注記 |
3,200千円 (直接経費 : 3,200千円)
2006年度 : 1,000千円 (直接経費 : 1,000千円)
2005年度 : 1,100千円 (直接経費 : 1,100千円)
2004年度 : 1,100千円 (直接経費 : 1,100千円)
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| キーワード | 遷移層 / 界面 / 特異極限 / 漸近解析 / 平均曲率流 / リヤプノフ・シュミット法 / 対称性破壊分岐 / 反応拡散系 / 漸近展開 / 保存則 / 対流 / Lyapunov-Schmidt法 / 極小曲面 / 楕円型偏微分方程式 / 変分法 / 球対称 / 反応拡散対流系 / 界面方程式 / 分岐 / 安定性解析 |
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| 研究概要 |
本研究課題においては、反応拡散(対流)方程式系における遷移層とその特異極限として現れる界面の時間発展を漸近解析的な手法を用いて研究した。研究成果の概要は以下の通りである。
1.球対称な多次元空間において活性因子・抑制因子型の反応拡散系を考察し、抑制因子の反応が弱く活性因子の拡散が小さく反応が早い場合に、抑制因子の拡散率を減少させていくとき、球対称な遷移層解から対称性が低い遷移層解が次々と分岐し行くことを示した。
2.活性因子・抑制因子型反応拡散系において、両因子の反応率が同程度であり、抑制因子の拡散率が大きい場合、活性因子の拡散率を小さくしていくとき、無限解の対称性破壊分岐が起こることを示した。また、この分岐解は遷移層を持ち、界面に沿った方向の特徴的空間スケールは、活性因子の拡散率の平方根に比例することを見出した。
3.Allen-Cahn方程式を3次元有界領域で考察し、界面が領域境界と交わる場合に定常界面の存在と安定性について研究した。その結果、定常界面は極小曲面であって領域境界と垂直に交わるものでなければならないこと、また、その安定性は極小曲面上の楕円型方程式に対する曲率依存型第3種境界値問題の固有値によって決定されることを見出した。さらに、具体的な有界領域に対して定常界面を構成し、その安定性を領域境界の計算可能な幾何的情報で表現した。
4.多次元空間における単独双安定な反応・拡散・対流方程式を、時空間の双曲型スケーリングによって特異摂動型問題に帰着させ、その特異極限における遷移層の挙動と界面運動方程式を導出した。また、このスケーリングが有効でない場合には、元の方程式に放物型の時空間スケールを適用し、上とは別の特異摂動問題に帰着させた。この間題に対しても特異極限解析を行い、遷移層の詳細な漸近的構造を明らかにすると共に、界面の運動が重み付き平均曲率流に支配されることを見出した。方程式のレベルでは1階作用素である対流項が、特異極限においては界面の主曲率(2階微分作用素)の形でダイナミクスに影響を与えることは、驚きであると共に非常に重要であると思われる。さらに、反応過程と拡散過程の下では不安定な定常界面が、対流効果によって安定化する可能性を示唆する結果も得られつつある。
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