| 研究概要 |
本研究は与えられたイデアルのfiltrationの様相から随伴する次数代数の環構造を判定する,簡便かつ実際的な方法を見出すことを目標として行われました。たとえば,体$k$上の10変数形式的べき級数環A=k[[X_{ij}|i=1,2,1≦j≦5]]の2×5のgeneric matrix X=[X_{ij}]のmaximal minorsで生成されるイデアルIを考えますと,、その随伴次数環はGorenstein環になることが知られています.しかしながら,このような基本的なイデアルでさえ,depth A/I^2=3と値が小さくなっているために,その随伴次数環がGorensteinであるかどうか実際的に判定する方法は見出されていませんでした.本研究では,こめようなイデアルにも適応する判定法の開発をめざしていましたが,中心となる成果として,上で述べたようなdepthの値が小さい例にも対応できる判定法を構成することが出来ました.もう少し詳しく述べさせていただきますと,既存の判定法は固定された"minimal" reductionについて考察されていましたが,新しい判定法ではminimalという条件をはずして,(局所的ではない普通の)reduction numberの条件をゆるやかにし,局所的なものとして扱えるようにしたことが構成できた要因のひとつだと思われます.もちろんGorenstein性は局所的な性質ですので,いま振り返るとそうだろうなと思うのですが,そうすることによってdepthの条件を局所的な条件として弱め,上記のような例についても適応できる判定法の確立に至りました.
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