| 研究概要 |
代数曲線の周期積分を与える超幾何関数をモジュラー対応の観点から調べた。Gaussは算術幾何平均が楕円積分と一致する事を見抜き、解析学の新分野が開拓されるだろうと予言した。それから200年以上経っが、算術幾何平均と楕円積分の関係の高次元への拡張という問題はあまり考察されていない。この問題に対しに、千葉大学の志賀弘典氏と共に、周期積分がAppellの超幾何微分方程式F1を1満たすような代数曲線のモジュライについて深い研究を行ってきた。Picard曲線については既に満足すべき結果が得られたので、.今年度はAppellのF1(1/2,1/4,1/4,1)が満たす関数等式の証明、3変数算術幾何平均の収束を証明を試みた。具体的には北海道大学の松本圭司氏によって研究されたテータ関数の零点とモジュラー群による不変性を調べる事により、算術幾何平均の構成を行い、F1(1/2,1/4,1/4,1)の関数等式の証明は微分方程式の解の一意性に帰着させる事により成功した。これを成し遂げる為に、微分作用素の複雑な計算や多変数テータ関数の特殊値の計算が避けて通れず、Mathematica、Macaulay2等の数式処理ソフトを活用した。研究成果は志賀弘典氏との共著論文
Extended Gauss AGM and corresponding Picard modular forms
(Technical Reports of Mathematical Sciences, Chiba University)
二まとめ、現在査読付雑誌に投稿準備中である。また去年度得られたPicard曲線に関係した高次元算術幾何平均についての結果を以下の講演で発表した。
「算術幾何平均と楕円積分の関係のある拡張について」日本数学会秋季総合分科会(大阪市立大学)
「算術幾何平均と超幾何関数」整数論セミナー(首都大学東京)
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