| 研究概要 |
本研究課題の主な目的は,3次元アフィン代数多様体の構造を,コンパクト化をして3次元極小モデル理論(森理論)を適用することにより解析を試みるというものである。2次元までの場合と同様に,3次元の場合には極小モデル理論の枠組みは完成しているので,我々の試みはある程度妥当なものと言えると思う。しかし,極小モデル理論の枠組みが出来ているとはいえ,アフィン代数幾何学の諸問題に双有理幾何学を適用する際には,まだまだ乗り越えなくてはならない困難がある。より正確に述べると,与えられた3次元アフィン代数多様体を適当な3次元射影多様体に境界因子部分が正規交叉するようにコンパクト化をしておき,そのdlt対からスタートするログ極小モデルプログラムを実行する。その結果,与えられた3次元アフィン代数多様体の対数的小平次元に応じて,そのdlt対は高々有限回の因子収縮射とログフリップを経由した後に,ログ森ファイバー空間若しくはログ極小モデルに到達する。到達点での新しいdlt対は代数幾何学的に特殊な構造を持っているので,それに注目すれば新しいdlt対の補集合を解析することは原理的には可能である。そうなると問題となるのは,この新しい補集合ともともとの3次元アフィン代数多様体をいかにして比較するのか?という箇所に集約される。この部分が最大の困難点となってくる。つまりログ極小モデルプログラムの過程で出現する因子収縮射の例外因子や,ログフリップの前・後のフリップ曲線の位置を明示的に記述する必要が生じる。もし因子収縮射の例外因子が境界因子の固有変換に含まれているのであれば中見部分にはなんら変化はないのであるが,そうでないとすると中見は削られてしまう。また,ログフリップの前・後フリップ曲線が全て境界因子の固有変換に含まれていれば中身部分には変化はないが,前・後フリップ曲線のうちで境界部分からはみ出てしまうものがあれば中身部分の変化を明示的に記述する方法はない。これらの困難を完全に一般的な設定の下で克服するのは,現時点では出来てはいないのであるが,コンパクト化に関するある種の幾何学的な条件を課した上では,ログ極小モデルプログラムの過程で出現する因子収縮射やログフリップを境界因子の固有変換との兼ね合いで明示的に記述することに成功して,その結果,その条件化では3次元アフィン代数多様体の構造を対数的小平次元に付随させて解析することに成功した。
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