解析数論の保型L関数への応用

• 研究課題/領域番号: 16740018
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 市原 由美子 広島大学, 大学院工学研究科, 助手 (80372689)
• 研究期間 (年度): 2004 – 2006
• 研究課題ステータス: 完了 (2006年度)
• 配分額: 2,200千円 (直接経費: 2,200千円); 2006年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2005年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2004年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
• キーワード: 二次形式の類数 / クロネッカー・フルビッツの類数公式 / L関数の特殊値 / 重さ3 / 2の保型形式 / アイゼンシュタイン級数 / Hilbert modular form

研究概要

今年度は特に類数の研究として、二次形式の類数をフーリエ係数に持つような、ある具体的なテータ関数を、ある正則保型形式の空間に移し、それを具体的な基底で書くことによって、類数やディルクレL関数などの研究をすることに重点を置いた。その準備として、ペイ氏によって求められたアイゼンシュタイン級数からなる空間の基底を検証した結果、一部にミスが見つかったので、まずはそれを修正する必要があった。修正することで正確な形で基底を求ることができ、実際に計算機で検証することで正しいものが導けたことを確認できた。現在、その修正して得られた基底を利用して、あるテータ関数を書き表すことで類数に関係する有効な情報を得るために幾つかの考察を行っているところである。これは上智大学の梅垣敦紀氏との共同研究となっている。また、類数の評価に関しては、今年度、ジーゲルアイゼンシュタイン級数を利用することで慶応大学の水野義紀氏が得た評価もあり、この結果との関連も今後の課題となる。また、こういった研究を後にどのように有効活用していくかの準備や勉強として、近畿大学の尾崎学氏と上智大学の梅垣敦紀氏との情報交換が活発に行われた。もう1つの研究対象であったL関数の特殊値がディリクレ級数の係数となっている、ゴールドフェルド氏とホフシュティン氏の導入した級数の拡張に関する研究については、彼らの仕事を研究しつつ、現在得られている多くの結果を調べ、拡張の可能性を模索している段階である。