| 研究概要 |
有理数係数ホモロジー3次元球面に対しd-不変量と呼ばれる不変量がヘガードフレアー理論において定義されている。この不変量を(p,p-1)型と(p,p-2)型のレンズ空間に対して計算しpの多項式として表すことができた。この計算結果を使って3次元球面内の結び目に沿ったデーン手術により(p,p-1)型または(p,p-2)型のレンズ空間が得られるとき自然数pに対していくつかの制限があることを示した。つまり3次元球面内の結び目に沿ったデーン手術では得られない(p,p-1)型や(p,p-2)型のレンズ空間が存在することを具体的に示した。今後は他の型のレンズ空間やザイフェルト空間に対してもd-不変量を計算しデーン手術に関する同様の結果を得ていきたい。
自明な結び目の閉組み紐表示について安定化操作を有限回うまく施すと,得られた閉組み紐を軸としてみたとき元の軸は新たに閉組み紐とみなせることを示した。またこの安定化操作を施す具体的な方法も示した。これは1つの絡み目が異なる複数個の閉組み紐として表されるときこれらの閉組み紐の間の関係を調べる研究の第一歩となっている。それぞれの閉組み紐の軸を自明な結び目とみたとき有限回の安定化操作の後互いに閉組み紐の位置にあるようにできることを上記の研究が示している。
合田氏との共同研究で構成しているヘガード分解を使った結び目の不変量について行列を使って定義することができた。これにより無限級数として定義されている不変量の収束性などを議論できるようになった。今後は結び目補空間のヘガード分解と結び目補空間の基本群の表現とを使った不変量を構成していきたい。
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