| 研究概要 |
最終年度の18年度では,飛躍を持つ対称マルコフ過程に対応する,ディリクレ形式の,所謂L^2空間における定義域について研究を行った.これは,確率過程論では,境界値問題を解くこと,すなわち,「解が存在するのか,また存在したらいくつ存在するのか」を研究することに対している.しかしながら,一般に解の個数をきっちりと導出するのは困難である.一次元空間拡散過程の場合には,'50年代後半にFellerにより,いまでは「Fellerの標準形」として知られる形で完全に解かれている.ところが,二次元以上や,あるいは飛躍を持つ確率過程の場合には,特別な場合を除き,一般形の形で導出するのはほぼ無理である.そこで,ここでは,その解析的対応物である,ディリクレ形式の定義域を決定することにより間接的に接近する方法を試みた.とくに,小さい飛躍率(small jump rates)が,ある意味"平行移動普遍性"と呼ばれる条件に近い性質を持つことがわかれば,大きい飛躍率(large jump rates)の如何に関わらず,ディリクレ形式形式の定義域は,L^2空間の枠組みでは,一意的に定まることが分かった.これは,ある意味,そのような条件の下では,確率過程が一意に定まることを意味している.すべてにおいて飛躍率が"平行移動普遍性"を持つときには,フーリエ解析の理論等を用いることにより,このことはすでに知られていたが,今回は,小さい飛躍率にそのような条件を課し,大きい方には一切条件をつけずに示すことが出来たのは特筆すべき点であると思われる.
今後の課題としては,小さい飛躍率の方でも,"平行移動普遍性"の条件が本質的なのかどうかを検証することである.これは,状態空間の位相的性質も併せて示されたものであるので,より一般な状態空間における設定ではもはや成り立つべくもない条件である.
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