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非線形シュレーディンガー方程式の初期値問題における解の漸近挙動

研究課題

研究課題/領域番号 16740079
研究種目

若手研究(B)

配分区分補助金
研究分野 基礎解析学
研究機関宮崎大学

研究代表者

北 直泰  宮崎大学, 教育文化学部, 助教授 (70336056)

研究期間 (年度) 2004 – 2006
研究課題ステータス 完了 (2006年度)
配分額 *注記
2,100千円 (直接経費: 2,100千円)
2006年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
2005年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
2004年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
キーワード非線形偏微分方程式 / 非線形Schroedinger方程式 / 解の漸近挙動 / 非線形シュレーディンガー方程式 / 非線形シュレーデンガー / δ-関数初期データ / 時間大域解
研究概要

初期データにデルタ関数を与えて,非線形シュレーディンガー方程式(NLS)の時間大域的な解を構成することができた.この結果は物理的には,光ファイバーに鋭いパルス状の波形を入力しその後の波形の変化を「実験ではなく」理論で観察できたことを意味する.また,特異性の強いデータに対しては,ゲージ不変性がある非線形項を持つシュレーディンガー方程式の可解性にかかわる結果が数少なかったので,今回の結果は低いレギュラリティーの枠組みで方程式を解く可能性を提示できたのではないかと考える.解の挙動については,初期データが鋭くとがっているとファイバー内部進行中に波形がなだらかになってパルスとしての形状保持ができなくなることがわかった.これは鋭いパルスには高い周波数の波が多く含まれているため,線形分散効果でその影響が突如として広がってしまうせいであろう.この知見から推察すると,ソリトンのように形状がいつまでも崩れない波形で存在しつづけるためには,高周波成分をあまり含まない波形つまり滑らかな波形を入力するとよいことが分かる.NLSを初期データデルタ関数で解くメリットは,解がほとんど陽的に得られるところにある.そのお陰で,非線形特有の効果を解の表現に垣間見ることが可能になった.この非線形特有の効果について具体的に説明すると,(1)初期データが1本のデルタ関数の場合,線形解に修正振幅が施された形になること(2)複数のデルタ関数を初期データに与えると非線形相互作用により解には新しいモードが無限個生ずること(3)特に初期データのデルタ関数が3本の場合には,それらの台が同一直線上にあるかないで時間大域的な解の構成に関わる難易度が飛躍的に変わることの3点が挙げられる.これらは通常の発展方程式論で扱われるような$L^2$空間の枠組みによる解の構成ではなかなかつかみきれなかったものである.今後の研究の方向性として次の2点が挙げられる.初期データのクラスを抽象化する方向.および,より精度よく現象を記述する方程式に対1してデルタ関数初期値で解の構成を試みる方向である.

報告書

(3件)
  • 2006 実績報告書
  • 2005 実績報告書
  • 2004 実績報告書
  • 研究成果

    (8件)

すべて 2006 2005 2004

すべて 雑誌論文 (8件)

  • [雑誌論文] Mode generating property of solutions to the nonlinear Schroedinger equations in one space dimension2006

    • 著者名/発表者名
      N.Kita
    • 雑誌名

      Nonlinear Dinpersive Equations (GAKUTO International Series) Vol 26

      ページ: 111-128

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] Time local well-posedness for the Benjamin-Ono equation with large initial data2006

    • 著者名/発表者名
      N.Kita, J.Segata
    • 雑誌名

      Publ.Res.Inst.Math.Sci. Vol 42

      ページ: 143-171

    • NAID

      110004020850

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] The contraction mapping approach for tha Benjamin-Ono equiation with large initial data2006

    • 著者名/発表者名
      N.Kita, J.Segata
    • 雑誌名

      Nonlinear Dinpersive Equations (GAKUTO International Series) Vol 26

      ページ: 129-140

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] Time local well-posedness for the Benjamin-Ono equation with large initial data2006

    • 著者名/発表者名
      N.kita, J.Segata
    • 雑誌名

      Publications of RIMS 42・1(掲載予定)

    • NAID

      110004020850

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Mode generating effect of the solutions to nonlinear Schrodinger equating2005

    • 著者名/発表者名
      Naoyasu Kita
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録「流体と気体の数学解析」 1425

      ページ: 113-121

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Sharp Asymptotic behavior of solutions to Nonlinear Schrodinger Equations with repulsive Instractions2005

    • 著者名/発表者名
      Naoyasu Kita, Tohru Ozawa
    • 雑誌名

      Communications in Contemporary Mathematics Vol7・No2(To appear)

      ページ: 1-10

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] Well-Posedness for the Boussinesq-Type System Related to the Water Wave2004

    • 著者名/発表者名
      Naoyasu Kita, Jun-ich Segata
    • 雑誌名

      Funkcialaj Ekvacioj 47

      ページ: 329-350

    • NAID

      130000141165

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] On the solution to nonlinear Schrodinger equation with superposed δ-function as initial data2004

    • 著者名/発表者名
      北 直泰
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録 非線形波動および分散型方程式に関する研究 1355

      ページ: 24-32

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書

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公開日: 2004-04-01   更新日: 2016-04-21  

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