標準束の複素幾何学; 多様体の変形族と退化の研究

• 研究課題/領域番号: 16H03929
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 高山 茂晴 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20284333)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2021年度)
• 配分額: 13,260千円 (直接経費: 10,200千円、間接経費: 3,060千円); 2020年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円); 2019年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円); 2018年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円); 2017年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円); 2016年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
• キーワード: 複素幾何学 / 相対標準束 / 変形空間 / モジュライ空間 / ファイバー積分 / 漸近挙動

研究成果の概要

退化も許すコンパクト代数多様体の族 f : X --> Y に対し、退化した中心ファイバー X_0 の性質、一般ファイバー X_y の性質、および底空間 Y のfに付随した性質、この三者を関連付ける研究成果を得た。また f : X --> Y に対しファイバー積分により得られる Y 上の関数を詳しく研究した。特に dim Y > 1 の場合には技術的に難しい点があり４０年近く進展がなかったが、困難を克服し、その関数の特異点の周りでの漸近展開公式を得た。

研究成果の学術的意義や社会的意義

f : X --> Y の中心ファイバー X_0 は考え方によっては無限遠に位置するファイバーと見做せる。これを有限部分に存在する一般ファイバー X_y の情報から理解できる方法を与える、という考え方は数学以外においても有用である。ファイバー積分により得られる底空間上の関数の研究は、積分の族を用いるような現象を扱う場面においてしばしば現れ、応用範囲が広い。漸近展開公式の発散項の特定、記述はその初めに問題となるような点であり基本的である。

研究成果

• [雑誌論文] Moderate Degeneration of Kahler-Einstein Manifolds with Negative Ricci Curvature (2019)
  • 著者名/発表者名: Takayama Shigeharu
  • 雑誌名: Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 巻: 55 号: 4 ページ: 779-793
  • DOI: 10.4171/prims/55-4-4
  • 査読あり
• [雑誌論文] Moderate degenerations of Ricci-flat Kahler-Einstein manifolds over higher dimensional bases (2019)
  • 著者名/発表者名: Shigeharu Takayama
  • 雑誌名: J. Math. Sci. Univ. Tokyo 巻: 26 ページ: 335-359
  • NAID: 120006942541
  • 査読あり
• [雑誌論文] A filling-in problem and moderate degenerations of minimal algebraic varieties (2019)
  • 著者名/発表者名: Takayama Shigeharu
  • 雑誌名: Algebraic Geometry 巻: 6 ページ: 26-49
  • DOI: 10.14231/ag-2019-002
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Positivity of twisted relative pluricanonical bundles and their direct images. (2018)
  • 著者名/発表者名: Mihai Paun, Shigeharu Takayama
  • 雑誌名: J. Algebraic Geom. 巻: 27 号: 2 ページ: 211-272
  • DOI: 10.1090/jag/702
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Effective degree bounds for generalized Gauss map images (2017)
  • 著者名/発表者名: G. Heier and S. Takayama
  • 雑誌名: Advanced Studies in Pure Math., Math. Soc. Japan 巻: 74
  • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
• [学会発表] Asymptotic expansions of fiber integrals and applications (2019)
  • 著者名/発表者名: 高山 茂晴
  • 学会等名: 第15回代数・解析・幾何学セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Asymptotic expansions of fiber integrals and application (2019)
  • 著者名/発表者名: Shigeharu Takayama
  • 学会等名: Birational geometry and moduli spaces
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Asymptotic expansions of fiber integrals (2019)
  • 著者名/発表者名: Shigeharu Takayama
  • 学会等名: Tianyuan International Workshop in Several Complex Variables
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Degeneration of Kahler-Einstein manifolds (2018)
  • 著者名/発表者名: 高山 茂晴
  • 学会等名: 2018 International conference on complex geometry and several complex variables
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Moderate degenerations of Calabi-Yau manifolds over higher dimensional bases (2017)
  • 著者名/発表者名: 高山 茂晴
  • 学会等名: Analytic Methods in Algebraic Geometry Day
  • 発表場所: Northwestern Univ., シカゴ市（アメリカ合衆国）
  • 年月日: 2017-03-18
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] ファイバー空間の相対標準束と充填問題 (2017)
  • 著者名/発表者名: 高山茂晴
  • 学会等名: 代数学シンポジウム
  • 招待講演
• [学会発表] Moderate degeneration of K\"ahler-Einstein manifolds with negative Ricci curvature (2017)
  • 著者名/発表者名: 高山茂晴
  • 学会等名: 第23回複素幾何シンポジウム
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Moderate degeneration of K\"ahler-Einstein manifolds (2017)
  • 著者名/発表者名: 高山茂晴
  • 学会等名: Mini-workshop on Complex Geometry
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Positivity of the direct image of an adjoint bundle with multiplier ideal (2016)
  • 著者名/発表者名: 高山 茂晴
  • 学会等名: 第22回複素幾何シンポジウム
  • 発表場所: 金沢県政記念 しいのき迎賓館（石川県, 金沢市）
  • 年月日: 2016-11-02
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 標準束の複素幾何学 (2016)
  • 著者名/発表者名: 高山 茂晴
  • 学会等名: 日本数学会2016年度秋季総合分科会 幾何学・トポロジー分科会合同 特別講演
  • 発表場所: 関西大学（大阪府, 吹田市）
  • 年月日: 2016-09-16
  • 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] 第25回複素幾何シンポジウム (2019)
• [学会・シンポジウム開催] Complex Geometry 2019 Tokyo (2019)
• [学会・シンポジウム開催] 第21回多変数複素解析葉山シンポジウム (2019)
• [学会・シンポジウム開催] 第20回多変数複素解析葉山シンポジウム (2018)
• [学会・シンポジウム開催] 第24回複素幾何シンポジウム (2018)
• [学会・シンポジウム開催] 第19回多変数複素解析葉山シンポジウム (2017)
• [学会・シンポジウム開催] 第23回複素幾何シンポジウム (2017)
• [学会・シンポジウム開催] 第22回複素幾何シンポジウム (2016)
  • 発表場所: 金沢県政記念 しいのき迎賓館
  • 年月日: 2016-10-31
• [学会・シンポジウム開催] 第18回多変数複素解析葉山シンポジウム (2016)
  • 発表場所: 湘南国際村センター,
  • 年月日: 2016-07-16