結晶基底を用いた Ｎｅｗｔｏｎ－Ｏｋｏｕｎｋｏｖ 凸体の研究

• 研究課題/領域番号: 16J00420
• 研究種目: 特別研究員奨励費
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 国内
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 藤田 直樹 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(PD)
• 研究期間 (年度): 2016-04-22 – 2019-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2018年度)
• 配分額: 2,500千円 (直接経費: 2,500千円); 2018年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2017年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2016年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
• キーワード: Newton-Okounkov 凸体 / 中島-Zelevinsky 多面体 / Gorenstein Fano トーリック多様体 / 一般化ストリング多面体 / テンソル積表現 / シューベルト多様体 / 結晶基底の多面体表示 / 差分作用素 / ヘッセンバーグ多様体 / Newton-Okounkov凸体 / 結晶基底 / ストリング多面体

研究実績の概要

本研究の目的は Newton-Okounkov 凸体と結晶基底の関係を理解し, 幾何への応用を与えることである. 報告者は昨年度の研究において, Newton-Okounkov 凸体の具体例である 中島-Zelevinsky 多面体の特別なクラスが Kiritchenko による多面体に対する Demazure 作用素を用いて構成できることを見出した. 今年度はこの結果を 中島-Zelevinsky 多面体に対応するトーリック多様体の研究へ応用した. 具体的には上記の作用素を用いて構成できる 中島-Zelevinsky 多面体に対して, 対応するトーリック多様体が最高ウェイトの取り方に依らないこと, および Gorenstein Fano であることを証明した.
シューベルト多様体の特異点解消の一つである Bott-Samelson 多様体が持つ対称性は一般化 Demazure 加群と呼ばれる加群に反映されている. この加群に対する結晶基底を一般化 Demazure 結晶という. 報告者は以前の研究において, Bott-Samelson 多様体のある付値に関する Newton-Okounkov 凸体が一般化 Demazure 結晶のあるパラメトリゼーションから作られる多面体 (一般化ストリング多面体) と一致していることを見出した. 今年度は IBS-CGP の Eunjeong Lee 氏および KAIST の Dong Youp Suh 教授との共同研究において, 一般化 Demazure 加群の特別なクラスを考察し, このクラスに属する加群の既約分解を Newton-Okounkov 凸体を用いて記述する公式を導出した. このクラスには有限個の既約表現のテンソル積が含まれており, テンソル積表現の既約分解に現れる既約表現の重複度をある多面体の格子点の数え上げとして計算する方法を与えている.
Eunjeong Lee 氏および Dong Youp Suh 教授との共同研究のきっかけとなった一般化ストリング多面体に関する研究をまとめた論文が Journal of Algebra から出版された.

現在までの達成度 (段落)

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [国際共同研究] Fudan University(中国)
• [国際共同研究] KAIST(韓国)
• [国際共同研究] Unidad Academica de Matematicas(メキシコ)
• [国際共同研究] Yale University(米国)
• [国際共同研究] University of Warsaw(ポーランド)
• [国際共同研究] Georg-August-Universitat Gottingen(ドイツ)
• [雑誌論文] Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties and string polytopes for generalized Demazure modules (2018)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 515 ページ: 408-447
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.08.019
  • 査読あり
• [雑誌論文] Folding procedure for Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties (2018)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 雑誌名: Communications in Algebra 巻: 46 号: 6 ページ: 2666-2692
  • DOI: 10.1080/00927872.2017.1392538
  • 査読あり
• [雑誌論文] A comparison of Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties (2017)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita, Hironori Oya
  • 雑誌名: Journal of the London Mathematical Society (2) 巻: 96 号: 1 ページ: 201-227
  • DOI: 10.1112/jlms.12059
  • 査読あり
• [雑誌論文] Khovanskii bases of Cox-Nagata rings and tropical geometry (2017)
  • 著者名/発表者名: Martha Bernal Guillen, Daniel Corey, Maria Donten-Bury, Naoki Fujita, Georg Merz
  • 雑誌名: Fields Institute Communications 巻: 80 ページ: 159-179
  • DOI: 10.1007/978-1-4939-7486-3_8
  • ISBN: 9781493974856, 9781493974863
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Newton-Okounkov convex bodies of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases (2017)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita, Satoshi Naito
  • 雑誌名: Mathematische Zeitschrift 巻: 285 号: 1-2 ページ: 325-352
  • DOI: 10.1007/s00209-016-1709-7
  • 査読あり / 謝辞記載あり
• [学会発表] Tensor product representations from Newton-Okounkov bodies (2019)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: 第15回数学総合若手研究集会
• [学会発表] Geometry of regular Hessenberg varieties and their families (2018)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: Algebraic Lie Theory and Representation Theory 2018
• [学会発表] Geometric and representation-theoretic aspects of flag Bott-Samelson varieties (2018)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: 変換群論における幾何・代数・組み合わせ論
  • 招待講演
• [学会発表] Divided difference operators on polytopes and polyhedral realizations of crystal bases (2018)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: 組合せ論的表現論の諸相
• [学会発表] Newton-Okounkov bodies, generalized string polytopes and tensor product multiplicities (2018)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Conference on Algebraic Representation Theory
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Algebro-geometric aspects of regular Hessenberg varieties and their families (2018)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: Hessenberg 集会 2018 in Osaka
  • 招待講演
• [学会発表] Nakashima-Zelevinsky polytopes from convex-geometric Demazure operators (2018)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: 南大阪代数セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Folding procedure for Newton-Okounkov polytopes of flag varieties (2018)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: 第14回数学総合若手研究集会 (北海道大学)
• [学会発表] Newton-Okounkov polytopes and representation theory I, II, III (連続講演) (2018)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Seminar (IBS Center for Geometry and Physics)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Polyhedral realizations of crystal bases and convex-geometric divided difference operators (2017)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Algebraic Analysis and Representation Theory (RIMS)
  • 国際学会
• [学会発表] Polyhedral realizations of crystal bases and perfect bases with positivity properties (2017)
  • 著者名/発表者名: 藤田 直樹
  • 学会等名: 表現論と組合せ論 (RIMS)
• [学会発表] Convex-geometric divided difference operators and crystal bases (2017)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: International Festival in Schubert Calculus (Sun Yat-sen University)
  • 国際学会
• [学会発表] Newton-Okounkov polytopes of flag varieties of classical types (2016)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: The 4th Korea Toric Topology Winter Workshop
  • 発表場所: Unipark of Jeju National University (Jeju Island, Korea)
  • 年月日: 2016-12-26
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties and perfect bases with positivity properties (2016)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Conference on Algebraic Representation Theory 2016
  • 発表場所: Harbin Institute of Technology (Shenzhen, China)
  • 年月日: 2016-12-01
  • 国際学会
• [学会発表] Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties and folding method (2016)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Geometry & Topology Seminar
  • 発表場所: McMaster University (Hamilton, Canada)
  • 年月日: 2016-09-23
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases (2016)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Introductory Workshop in “Major Thematic Program on Combinatorial Algebraic Geometry”
  • 発表場所: Fields Institute (Toronto, Canada)
  • 年月日: 2016-08-15
  • 国際学会
• [学会発表] Comparison between Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties (2016)
  • 著者名/発表者名: Naoki Fujita
  • 学会等名: Algebraic Lie Theory and Representation Theory 2016
  • 発表場所: 菅平高原 プチホテル・ゾンタック（長野県上田市）
  • 年月日: 2016-06-09