ヒッグズ層の代数理論とその応用

• 研究課題/領域番号: 16K05106
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 中央大学
• 研究代表者: 宮岡 洋一 中央大学, 理工学部, 教授 (50101077)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2019年度)
• 配分額: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円); 2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2018年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2017年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2016年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
• キーワード: 可積分作用つき層 / ヒッグス層 / Mehta-Ramanathan 型制限定理 / テンソル積保存定理 / Bogomolov 不等式 / ヒッグス束 / 可積分作用をもつ層 / ベクトル束作用付き層 / テンソル積定理 / 素数定理 / 作用付き層 / 半安定性 / 制限定理 / 可積分 A 束 / テンソル積 / ヒッグズ束 / 可積分テンソル層 / ヒッグズ層

研究成果の概要

ヒッグス束の初等的・純代数的理論の構築に取り組み、以下を証明した。1) ベクトル束作用をもつ層の半安定性が高次数一般超曲面制限で保たれるという Mehta-Ramanathan 型定理 2) ベクトル束の可積分作用をもつ層の半安定性がテンソル積で保たれるというテンソル積保存定理 3) 接束の可積分作用をもつ半安定層（半安定 Higgs 層）のチャン類に対する Bogololov 不等式。これらの結果により，微分方程式やホッジ理論に依存していたヒッグス層の理論を、純粋に代数幾何的な方法により再構成した。

研究成果の学術的意義や社会的意義

理論物理から生まれたヒッグス層は、微分方程式論、微分幾何学、代数幾何学など、純粋数学のさまざまな分野においても重要な役割を果たしつつある。しかしながら従来のヒッグス層理論は、ゲージ理論、すなわち非線形偏微分方程式論　 (C. Simpson, T. Mochizuki) や、 p 進ホッジ理論 (A. Langer) といった大道具を用いており、きわめて難解なものであった。われわれの研究はヒッグス層の基礎理論に明快かつ初等的な枠組みを与え、見通しをよくするものである。